Tarea-Examen 3                                 Álgebra Moderna I



  1. Sea $ G$ un grupo y $ H\leq G$. Muestra que $ H$ es normal en $ G$ si y sólo si $ H$ es unión de clases de conjugación de $ G$.
  2. Sea $ G$ un grupo y $ X$ un $ G$-conjunto. Si $ x,y\in X$ están en la misma orbita, da un isomorfismo entre el estabilizador de $ x$ y el estabilizador de $ y$.
  3. Muestra que si $ G$ es un grupo finito y $ H\leq G$ con $ [G:H]=p$, donde $ p$ es el primo más pequeño que divide al orden de $ G$, entonces $ H$ es normal en $ G$.
  4. Muestra que si $ G$ es un grupo finito de orden $ pn$, donde $ p$ es número primo mayor o igual que $ n$, entonces $ G$ tiene un subgrupo normal de orden $ p$.
  5. Si $ G$ es grupo no abeliano de orden $ p³$, muestra lo siguiente:
    1. $ \mathrm{Z}(G)$ es cíclico de orden $ p$.
    2. $ G/\mathrm{Z}(G)$ es isomorfo a $ \mathrm{Z}(G)\times \mathrm{Z}(G)$.
    3. Si $ g^p\equiv 1$ para todo $ g\in G$, entonces $ G$ tiene un subgrupo de orden $ p²$.



SUERTE!!!