Relaciones de Equivalencia

Definición 14   Si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación entre $A$ y $A$, decimos que $R$ es una relación de equivalencia en $A$ si se cumple que:

1. $R$ es reflexiva, es decir, para todo $a\in A$ se tiene que $aRa$.
2. $R$ es simétrica, es decir, si $aRb$ entonces $bRa$.
3. $R$ es transitiva, es decir, si $aRb$ y $bRc$ entonces $aRc$.

Notación 2   Si $R$ es una relación de equivalencia en $A$ y $a$ está $R$-relacionado con $b$, es decir, $aRb$, decimos entonces que $a$ es congruente con $b$ módulo $R$ y escribimos:

$$a\equiv b \;(\mathrm{mod}\; R)$$

Ejemplos.

1. Relación de equivalencia identidad. Si $A$ es un conjunto, la relación identidad $\mathrm{id}_A$ entre $A$ y $A$ es una relación de equivalencia. Realmente, ésta es la relación de equivalencia en $A$ más pequeña, es decir, está contenida en cualquier otra relación de equivalencia de $A$.
2. Relación de equivalencia total. Si $A$ es un conjunto, la relación total $A\times A$ entre $A$ y $A$ es una relación de equivalencia. Realmente, ésta es la relación de equivalencia en $A$ más grande, es decir, contiene a cualquier otra relación de equivalencia de $A$.
3. Paises en el mundo. Si $A$ denota al conjunto de todos los seres humanos, definimos la relación:
   $$R:=\{(a,b)\in A\times A\mid a \;$$vive en el mismo país que$$\; b\}.$$

   Entonces, $R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los seres humanos.

4. Enteros módulo $n$. Si $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los números enteros, por cada $n\in \mathbb{N}$ definimos la relación:
   $$R_n:=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mid n \;$$divide a la diferencia$$\;a-b\}.$$

   Entonces, $R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros. En este caso, si $a$ es congruente con $b$ módulo $R_n$, escribimos $a\equiv b\;(\mathrm{mod}\; n)$ en lugar de $a\equiv b\;(\mathrm{mod}\; R_n)$.

5. El círculo. Si $\mathbb{R}$ denota el conjunto de números reales, considera la siguiente relación entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$:
   $$R:=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid x-y\in \mathbb{Z}\}.$$

   Entonces, $R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de los números reales y $x\equiv y\;(\mathrm{mod}\; R)$ si y sólo si la diferencia de $x$ y $y$ es un entero.

Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. Si $a\in A$, definimos la clase de equivalencia de $a$ módulo $R$ como el conjunto:

$$[a]_R:=\{x\in A \mid a\equiv x \;(\mathrm{mod}\; R)\}.$$

Tenemos entonces el siguiente resultado.

Teorema 15   Si $R$ es una relación de equivalencia en $A$, entonces:

1. Para todo $a\in A$ se tiene que $a\in [a]_R$ por lo que $[a]_R\neq \emptyset$.
2. Para todo $a,b\in A$, $a\equiv b\;(\mathrm{mod}\; R)$ si y sólo si $[a]_R=[b]_R$.
3. Para todo $a,b\in A$, $a\not\equiv b\;(\mathrm{mod}\; R)$ si y sólo si $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$.
4. $\underset{a\in A}{\bigcup}[a]_R=A$.

Ejemplos.

1. Relación de equivalencia identidad. Si $a\in A$, la clase de equivalencia de $a$ módulo la relación de equivalencia identidad es igual al singulete $\{a\}$, es decir,
   $$[a]_{\mathrm{id}_A}=\{a\}.$$

   Observa que entonces, el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de $A$ módulo $id_A$ puede identificarse con $A$ mismo.

2. Relación de equivalencia total. Si $a\in A$, la clase de equivalencia de $a$ módulo la relación de equivalencia total es igual al conjunto $A$, es decir,
   $$[a]_{A\times A}=A.$$

   Tenemos entonces que todas las clases de equivalencia módulo $A\times A$ son iguales, por lo que el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de $A$ módulo la relación de equivalencia total contiene un único elemento.

3. Paises en el mundo. Si $a\in A$, es decir, si $a$ es un ser humano, la clase de equivalencia de $a$ módulo la relación de equivalencia de vivir en el mismo pais, es igual al conjunto de todos los seres humanos que viven en el mismo pais que $a$, es decir,
   $$[a]_R=\{x\in A\mid x\;$$vieve en el mismo pais que$$\;a\}.$$

   Tenemos entonces que el conjunto de las clases de equivalencia de los seres humanos módulo ésta relación puede identificarse con el conjunto de paises que existen.

4. Enteros módulo $n$. Si $a$ es un número entero, la clase de equivalencia de $a$ módulo la relación de equivalencia $R_n$ es igual al siguiente conjunto:
   $$[a]_{R_n}=\{a+nx\mid x\in \mathbb{Z}\}.$$

   Se puede observar entonces que si $a , b \in\{0,1,\dots,n-1\}$ entonces $[a]_{R_n}\neq [b]_{R_n}$ y que cualquier otra clase de equivalencia es igual a alguna de estas, es decir, existen exactamente $n$ distintas clases de equivalencia módulo $R_n$, $[0]_{R_n}, [1]_{R_n}, \dots, [n-1]_{R_n}$.

5. El círculo En el ejemplo anterior del círculo, si $a$ es número real, la clase de equivalencia de $a$ módulo la relación dada es igual al conjunto:
   $$[a]_R= \{a+n\mid n\in\mathbb{Z}\}.$$

   Observese entonces que el conjunto de las clases de equivalencia de los números reales módulo esta relación puede identificarse con el círculo.