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Modelación matemática del proceso de formación del silicio poroso

Ponente: José Salvador Flores Hernández
Institución: Centro de Investigación en Matemáticas
Tipo de Evento: Investigación, Divulgación
Cuándo 21/03/2018
de 12:00 a 13:00
Dónde Salón 2 del Laboratorio Internacional de Investigación sobre el Genoma Humano (LIIGH), UNAM Campus Juriquilla
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El silicio poroso es un material nanoestructurado con aplicaciones en Medicina, Química, Óptica, Biología, Electrónica y Fotónica, entre otros. Desde su descubrimiento en 1956 por Uhlir hasta nuestros días, se han estudiado y analizado varias aplicaciones y propiedades. Los científicos experimentales han demostrado que las aplicaciones y propiedades están determinadas por su estructura porosa.

El silicio poroso se obtiene mediante una anodización electroquímica de una oblea de silicio que tiene como electrolito una solución que contiene ácido fluorhídrico. Este proceso involucra diversos fenómenos químicos y físicos como: difusión, migración, reacción química, generación y recombinación de huecos e iluminación entre otros, y se lleva a cabo bajo la variación de factores experimentales como: densidad de corriente, tiempo de anodización, concentración de impurezas, temperatura, etc. La anodización de silicio es un proceso muy complejo y su comprensión permite reproducir o predecir propiedades y aplicaciones de silicio poroso.

Para estudiar cómo cambia la estructura porosa, se han desarrollado modelos empíricos que analizan diferentes muestras de silicio modificando solo uno de los factores experimentales. La principal desventaja de estos modelos es que requieren una gran cantidad de muestras y, por lo tanto, un costo considerable para su análisis. Sin embargo, el análisis experimental es fundamental para el estudio y la validación de modelos matemáticos y computacionales.

Los modelos matemáticos y computacionales se han utilizado para reproducir fenómenos específicos analizados en los modelos empíricos, dichos modelos se basan principalmente en 
el modelo Diffusion Limited Aggregation (DLA) propuesto por Witten y Sanders. En este sentido, Smith y Collins formularon un modelo para describir el mecanismo y la morfología de la formación de silicio poroso. 

En el caso de los modelos matemáticos, pocos tienen como objetivo reproducir el crecimiento poroso en el silicio. Algunos modelos que consisten en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias han estudiado el efecto de la intensidad del campo eléctrico en la interfaz silicio / electrolito. Kang y Jorn estudiaron la estabilidad morfológica usando una ecuación diferencial elíptica, que toma en cuenta la difusión, la intensidad de la iluminación, la concentración de dopantes, entre otros; Valance analizó la estabilidad en la interfaz de silicio / electrolito al considerar el movimiento de la interfaz y el transporte iónico y eléctrico; Rauscher y Spohn propusieron un sistema diferencial parcial para describir el proceso de formación de silicio en una interfaz planar silicio-electrolito.

En esta charla, construimos el modelo PSF que es un sistema parabólico no lineal de la forma


w_t-\nabla\cdot[a(x)\nablaw+b(x)w]=f(w),

donde es un vector cuyos componentes son las concentraciones del silicio y el electrolito. Los procesos de difusión y migración se consideran en las funciones a (x) y b (x) , respectivamente.


Mientras tanto, la reacción química entre el silicio y el ácido fluorhídrico, así como la recombinación de agujeros en el silicio, se tienen en cuenta en f (w) . El modelo PSF considera los factores experimentales:
densidad de corriente, tiempo de anodización, concentración de impurezas y porcentaje de ácido fluorhídrico en el electrolito. Además, consideramos los términos de difusión variable y constante con el objetivo
de contrastar sus efectos en la estructura porosa del silicio.

La existencia y unicidad de las soluciones clásicas y la estabilidad de los estados estacionarios del modelo PSF son demostradas a través del método monótono basado en sus soluciones superiores e inferiores.  
Con el objetivo de determinar su solución, el método monótono es discretizado mediante el método de diferencias finitas y probadas su consistencia, estabilidad y convergencia. Finalmente, mediante simulaciones
númericas del modelo PSF mostramos que dicho modelo reproduce fenómenos observados experimentalmente además de permitir el análisis de una gran variedad de morfologías distintas.