Funciones

Definición 8   Sea $R$ una relación entre $A$ y $B$. Decimos que $R$ es una función si para todo $a\in A$ la imagen directa de $a$ por $R$ es un singulete, es decir, $R(a)=\{b\}$ para algún $b\in B$. En este caso denotamos a $b$ simplemente como $R(a)$ y lo llamamos la imagen de $a$ por $R$.

Entonces,

$$R=\{(a,R(a))\in A\times B\mid a\in A\}.$$

Observa que si $R$ es una relación entre $A$ y $B$, para que $R$ sea una función es necesario y suficiente que se cumplen las siguientes dos condiciones:

1. El dominio de $R$ es igual a $A$, $D_R=A$.
2. Siempre que $aRb$ y $aRb'$ entonces $b=b'$.

En general, a las relaciones que son funciones las denotamos con letras minúsculas: $f,g,h,$ etc. y si $f$ es una función entre $A$ y $B$ decimos mejor que $f$ es una función de $A$ en $B$ y denotamos $A\stackrel{f}{\to}B$; esto nos permite ver a una función $f$ como una regla de asociación, que a cada elemento $a$ de $A$ asocian el elemento $f(a)$ de $B$.

Notación 1   Observa que si $A$ y $B$ son dos conjuntos, el conjunto de todas las relaciones entre $A$ y $B$ es igual al conjunto $\P (A\times B)$. Nosotros denotamos como $B^A$ al subconjunto de $\P (A\times B)$ que tiene por elementos a las relaciones entre $A$ y $B$ que son funciones.

Ejemplos.

1. Si $A$ es el conjunto de los alumnos en la clase de Álgebra Superior, la regla que cada alumno en la clase asocia su edad puede verse como una función de $A$ en el conjunto de los números naturales, $A\stackrel{\mathrm{edad}}{\longrightarrow}\mathbb{N}$. Entonces,
   $$\mathrm{edad}:=\{(a,n)\mid a\;$$es un alumno de Álgebra Superior con$$\;n\;$$años de edad$$\}$$

2. Si $\mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales, la regla que a cada número real $x$ asocia su cuadrado $x^2$ puede verse como una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}\stackrel{\phantom{}^\wedge 2}{\to}\mathbb{R}$. Entonces,
   $$\phantom{}^\wedge 2 =\{(x,x^2)\mid x\in \mathbb{R}\}$$

La forma en como se comportan los conceptos de composición de relaciones y relación inversa en el contexto de funciones, puede verse en el siguiente Teorema y la siguiente Definición.

Teorema 9   Sea $f$ una relación entre $A$ y $B$, y $g$ una relación entre $B$ y $C$. Entonces, si $f$ y $g$ son funciones la relación composición $g\circ f$ también es una función, en este caso $g(f(a))=g\circ f(a)$ para toda $a\in A$.

Definición 10   Si $A\stackrel{f}{\to}B$ es una función, decimos que $f$ es biyectiva o invertible si $f^{-1}$, la relación inversa de $f$, también es una función.

Observa que si $A\stackrel{f}{\to}B$ es una función, para que $f$ sea biyectiva es necesario y suficiente que la imagen inversa de cualquier $b\in B$ sea un singulete, es decir, $f^{-1}(b)={a}$ para alguna $a\in A$. Entonces, $f$ es biyectiva si y sólo si para todo $b\in B$ existe un único $a\in A$ tal que $f(a)=b$.