Ejercicios

1. Sea $R$ una relación entre $A$ y $B$, y sean $X$ y $Y$ subconjuntos de $A$ y $B$ respectivamente. Prueba lo siguiente:
   1. $R(X)\subseteq \bigcup \bigcup R$
   2. $R^{-1}(Y)\subseteq \bigcup \bigcup R$

2. Sea $R$ una relación entre $A$ y $B$, y sean $X$ y $Y$ subconjuntos de $A$. Muestra lo siguiente:
   1. $R(X\cup Y)=R(X)\cup R(Y)$
   2. $R(X\cap Y)\subseteq R(X)\cap R(Y)$
   3. $R(X)\backslash R(Y)\subseteq R(X\backslash Y)$
   4. Da un ejemplo de que las igualdades en los incison (b) y (c) no siempre se cumplen.

3. Si $A\stackrel{f}{\to}B$ es una función, prueba que los siguientes enunciados son equivalentes:
   1. $f$ es biyectiva, es decir, la relación $f^{-1}$ es una función.
   2. $f$ es inyectiva y suprayectiva.
   3. Existe una función $B\stackrel{g}{\to}A$ tal que $f\circ g=\mathrm{id}_B$ y $g\circ f=\mathrm{id}_A$.

4. Si $A\stackrel{f}{\to}B$ y $B\stackrel{g}{\to}C$ son funciones prueba lo siguiente:
   1. Si $g\circ f$ es inyectiva entonces $f$ es inyectiva.
   2. Si $g\circ f$ es suprayectiva entonces $g$ es suprayectiva.

5. Si $\mathbf{2}$ denota al conjunto $\{0,1\}$ y $A$ es cualquier conjunto, define la función $A\stackrel{\chi}{\to}\mathbf{2}^A$ que a cada elemento $a\in A$ asocia la función $\chi(a)\in\mathbf{2}^A$ llamada función caracteristica de $a$ y definida como:
   $$% latex2html id marker 3349\chi(a)(b)= \begin{cases} 0 & \text{si}\; b\neq a\\ 1 & \text{si}\; b=a\\ \end{cases}$$

   Prueba que $\chi$ es una función inyectiva.

   Más generalmente, con las mismas consideraciones define la función $\P (A)\stackrel{\chi}{\to}\mathbf{2}^A$ que a cada elemento $X\in \P (A)$ asocia la función $\chi(X)\in\mathbf{2}^A$ llamada función caracteristica de $X$ y definida como:

   $$% latex2html id marker 3361\chi(X)(b)= \begin{cases} 0 & \text{si}\; b\notin X\\ 1 & \text{si}\; b\in X\\ \end{cases}$$

   Prueba que $\chi$ también una función inyectiva.

6. Si $A$ es el conjunto de todos los seres humanos, considera las relaciones entre $A$ y $A$:
   $$R:=\{(a,b)\in A\times A\mid a \;$$es padre de$$\;b\}$$
      y$$$$
   $$S:=\{(a,b)\in A\times A\mid a\;$$es hermano de$$\;b\}$$

   ¿Son $R$ y $S$ reflexivas, simétricas o transitivas?. Explica.

7. Si $R$ es una relación entre $A$ y $A$, prueba lo siguiente:
   1. $R$ es reflexiva si y sólo si $\mathrm{id}_A\subseteq R$.
   2. $R$ es simétrica si y sólo si $R=R^{-1}$.
   3. $R$ es transitiva si y sólo si $R\circ R\subseteq R$.
   4. $R$ es reflexiva y transitiva si y sólo si $R\circ R= R$ y $\mathrm{id}_A\subseteq R$.

8. Da ejemplos de relaciones entre un conjunto y él mismo tales que:
   1. Satisfagan dos de las tres condiciones reflexiva, simétrica y transitiva, pero no la tercera.
   2. Satisfagan una de las tres condiciones reflexiva, simétrica y transitiva pero no las otras dos.
   3. No satisfagan ninguna de las condiciones reflexiva, simétrica y transitiva.

9. Prueba que si $n$ es un número natural, existen exactamente $n$ distintas clases de equivalencia módulo $R_n$. (Ver el ejemplo Enteros módulo $n$ para las definiciones.)

10. Prueba que en el Teorema 17 se tiene que $g(\Omega)$ es una relación de equivalencia en $A$ si $\Omega$ es una partición en $A$ y que las igualdades $f\circ g=\mathrm{id}$ y $g\circ f=\mathrm{id}$ se cumplen.