3:00 pm, 17 de abril: Dos aplicaciones de integrales Abelianas.

Dada una curva algebraica, la teoría clásica (Abel, Jacobi, Torelli) nos enseña que las integrales Abelianas de todas las 1-formas holomorfas sobre todos los ciclos, forman un objeto simple que describe/recupera la geometría de la curva misma. Nosotros consideramos familias de curvas algebraicas en C^n con familias de 1-formas meromorfas. Estudiaremos como sus integrales Abelianas describen ciertas obstrucciones a dos problemas geométricos; un problema de perturbación de polinomios en C^2 y a la Conjetura Jacobiana en C^n (acerca de la invertibilidad de aplicaciones polinomiales).
Trabajo conjunto con L. Giraldo, A. Bustinduy (ambos en España) y S. Rebollo (Chile).

3:00 pm, 24 de abril: De la geometría al álgebra y de vuelta a la geometría.

Iniciamos con un problema geométrico que es asociarle a un campo de vectores polinomial (u holomorfo) en n+1 variables complejas tangente a una hipersuperficie definida por f=0, todo con singularidades aisladas, un número que mide el "orden" de anulamiento del campo de vectores, que generaliza el índice de Poincaré-Hopf y que se denomina el índice GSV, por GomezMont-Seade-Verjovsky. Este número se define topológicamente al regenerar la singularidad f=0 a f=t y "transportar" el campo de vectores, ponerlo en posición general y contar a la Poincaré-Hopf. El número está bien definido, pero no da para calcularse explícitamente (claramente).

Ahora, algebraicamente construimos un "complejo" al contraer formas diferenciales con el campo de vectores, calculamos la dimensión de los grupos de homología del complejo y hacemos la suma alternada de estas dimensiones (la característica de Euler del complejo, a la Riemann-Roch-Hirzebruch). Este número viene expresado como la suma de n+1 números (por cada grupo de homología) y se denomina el índice homológico. Afortunadamente el índice GSV y el homológico coinciden y por los tanto da un método algebraico para calcular el índice GSV (topológico).

Haciendo un poco más de álgebra homológica (un bicomplejo formado por resoluciones libres de los módulos de diferenciales) y calculando la sucesión espectral, prueba uno que, afortunadamente, excepto en los 2 extremos, todos los grupos de homología tienen la misma dimensión, los pares de hecho son isomorfos e igualmente los impares y son duales. Esto simplifica enormemente la fórmula. Por supuesto esto nos enfrenta a ¿qué miden geométricamente estos grupos de homología y por qué son isomorfos o duales? No sé la respuesta.

Si ahora trabajamos sobre los números reales, resulta que la dimensión de espacios vectoriales no es suficiente, sino que hay que considerar unas formas bilineales no-degeneradas en los espacios vectoriales y considerar la signatura de estas formas bilineales. En el caso que la dimensión n es impar, los 2 índices coinciden y tenemos una respuesta para este caso. En el caso que la dimensión n es par, entonces la diferencia de los 2 índices es un número que solo depende de la función f, no del campo de vectores X. Este número se expresa como la suma alternada de signaturas de formas bilineales que solo dependen de f. Esto también nos da la fórmula buscada. Pero, ¿cuál es el contenido geométrico de estas formas bilineales? Estamos intrigadamente indagando. Esto nos ha llevado a introducir las filtraciones en la homología dada por la Teoría de Estructuras de Hodge Mixtas y las "polarizaciones" inducidas...

Esta línea de investigación la he desarrollado conjuntamente con Seade, Verjovsky, Bonatti, Mardesic, Giraldo, Alanís, de la Rosa, González Villa, Artal, Portilla, Otto Romero y Oziel Gómez Martínez.

3:00 pm, 20 de marzo: Aplicaciones a variedades tóricas y degeneraciones tóricas.

Informaré sobre un reciente trabajo conjunto en curso con Takuya Murata. Motivados por el trabajo de Harada-Kaveh y el deseo de construir mapas del tipo mapa de momentos a politopos de Newton-Okounkov, estudiamos mapas a variedades tóricas. Como los métodos algebro-geométricos no resultan apropiados, utilizamos los resultados de Mather sobre las estratificaciones de Whitney para obtener un mapa de colapso. Aunque el resultado es más general, nuestra principal aplicación se refiere a las degeneraciones tóricas, donde construimos un mapa de la fibra general a la especial. Además, generalizamos un resultado de Harada-Kaveh que construye un sistema integrable en una variedad proyectiva que admite una degeneración tórica inducida por el mapa de momento en la variedad tórica. Un primer preprint del trabajo está disponible en arxiv:2210.13137.

3:00 pm, 13 de marzo: Deformations of K3 twistor families.

We construct a Hausdorff fine moduli space of K3 families over P^1. In the spirit of the classical K3 theory, we discuss analogs of the Toreli Theorems and the surjectivity of the period map for these families. Our interest originates from K3 twistor families, whose small deformations can be related to complex hyperkähler metrics on K3 surfaces.

3:00 pm, 21 de febrero: Sobre la positividad de la imagen directa de Frobenius en variedades tóricas.

Sea L un haz inversible sobre una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica positiva. Por el gran teorema de Kunz, la imagen directa de L a lo largo de Frobenius es un haz localmente libre. ¿Pero qué se puede decir acerca de su positividad (amplitud, efectividad numérica, grandeza, pseudo-efectividad)? En esta charla abordaré esta pregunta en el caso concreto de variedades tóricas. Esto está basado en trabajo conjunto con Emre Özavci.

3:00 pm, 28 de febrero: Equivariant enumerative geometry.

Classical enumerative geometry asks geometric questions of the form ?how many?? and expects an integral answer. For example, how many circles can we draw tangent to a given three? How many lines lie on a cubic surface? The fact that these answers are well-defined integers, independent upon the initial parameters of the problem, is Schubert?s principle of conservation of number. In this talk we will outline a program of ?equivariant enumerative geometry?, which wields equivariant homotopy theory to explore enumerative questions in the presence of symmetry. Our main result is equivariant conservation of number, which states roughly that the orbits of solutions to an equivariant enumerative problem are conserved. We leverage this to compute the S4 orbits of the 27 lines on any smooth symmetric cubic surface.

5:00 pm, 14 de junio: De la representabilidad sobre los números complejos de los matroides simplécticos de rango 2.

Consideramos como ingredientes una Grassmanniana simpléctica de líneas SpG(2,2n) sobre los números complejos (con n al menos 2) y una clase L en su grupo de homología entera. Nos interesa encontrar las subvariedades algebraicas (subesquemas cerrados enteros) de SpG(2,2n) homólogas a L, pero que también sean invariantes bajo la acción del toro máximo de SpG(2,2n).
Este problema está gobernado por objetos combinatorios llamado matroides simplécticos de rango 2 en 2n etiquetas, pero no todos ellos aparecen en este problema; los que sí aparecen se dicen ser representables sobre los números complejos, y caracterizarlos es un problema importante en geometría algebraica y en teoría de matroides.
En esta plática daremos la caracterización de los matroides simplécticos de rango 2 que son representables sobre los números complejos, usando que SpG(2,2n) aparece como una sección lineal de la Grassmanniana de líneas G(2,2n).
Estos resultados son parte de un trabajo conjunto con Pedro Luis del Ángel, Javier Elizondo, y Felipe Zaldívar.



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

5:00 pm, 17 de mayo: Estructuras coalgebraicas en teoría de A1-homotopía racional.

En la teoría de homotopía racional formalmente la clase de equivalencias débiles es incrementada por la colección de aplicaciones que inducen un isomorfismo en (co)homología singular con coeficientes racionales. Los trabajos de Quillen, Sullivan y Goerss muestran que dicho proceso, conocido como localización, permite dar una descripción completamente algebraica de ciertas subcategorías de la categoría de espacios racionales. En otras palabras es posible construir funtores fielmente plenos de dichas subcategorías a una categoría de homotopía con estructura algebraica.
En esta charla describiré un problema análogo para la teoría de A1-homotopía de k-esquemas lisos, donde el rol del intervalo [0, 1] lo juega la línea afín A1. En este contexto tenemos dos candidatos que juegan el papel de la homología singular, A1-homología estudiada ampliamente por Morel entre otros y la homología de Suslin introducida por Suslin y Voevodsky. Particularmente extenderemos en este contexto los trabajos de Goerss en términos de coálgebras.

5:00 pm, 31 de mayo: Sobre el espacio moduli de series lineales límite: avances y nuevo enfoque.

En esta charla pretendo mostrar los avances más recientes hacia la construcción de una nueva noción de serie lineal límite, llamada serie lineal límite continua, sobre curvas de tipo compacto de dos componentes. Esto con el principal objetivo de construir un espacio de moduli proyectivo que los parametrice y que responda de manera consistente a los principales resultados ''esperados'' relacionados a estos espacios (inspirados en lo que ocurre para el moduli de series lineales). Esto es un trabajo en progreso con Eduardo Esteves (IMPA, Brasil) y Antonio Nigro (UFF, Brasil).

5:00 pm, 26 de abril: Foliaciones con singularidades aisladas en superficies de Hirzebruch.

Estudiaremos foliaciones F en superficies de Hirzebruch S_r, r > 0 . Haremos uso de la estructura tórica de S_r para mostrar que, de manera similar a aquellas en el plano proyectivo, cualquier foliación F puede ser representada a través de una $1$-forma polinomial afín, ahora bi-homogénea. En el caso en el que F tiene singularidades aisladas, probaremos que, cuando r=1, el esquema de puntos singulares o esquema singular de F determina unívocamente a la foliación (salvo algunas excepciones que describiremos), como es el caso de las foliaciones en el plano proyectivo. Para r distinto de 1, mostraremos que el esquema singular de F no determina a la foliación. Sin embargo, mostraremos que, en la mayoría de los casos, dos foliaciones F y F', dadas por secciones s y s', tienen el mismo esquema singular si y sólo si s' = f(s), para algún endomorfismo global f del fibrado tangente de S_r
Este es un trabajo conjunto con Carlos Galindo (Castellón) y Francisco Monserrat (Valencia).



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

5:00 pm, 15 de marzo: Automorfismos de superficies cuárticas y transformaciones de Cremona.

Superficies K3 son caracterizadas por tener una 2-forma racional que no se anula en ningún lugar e irregularidad igual a cero. Superficies cuárticas suaves en P³ son ejemplos de tales superficies. Dada una cuártica S, Gizatullin se interesó en cuáles automorfismos de S son inducidos por transformaciones de Cremona de P³. Más tarde, Oguiso respondió esto para algunos ejemplos interesantes y planteó la siguiente pregunta natural:

¿Es cualquier automorfismo de orden finito de una cuártica suave en el 3-espacio proyectivo inducido por una transformación de Cremona?
En esta charla, daremos una respuesta negativa a esta pregunta construyendo una superficie cuártica suave S con número de Picard 2, tal que Aut(S) no es finito y éste contiene una involución que no es inducida por un elemento de Bir(P³). Más precisamente, probaremos que ningún elemento de Aut(S) es inducido por un elemento de Bir(P³). Esta es una colaboración con Ana Vitoria M Quedo.

5:00 pm, 29 de marzo: Campos de funciones en espacios de foliaciones y aplicaciones asociadas a invariantes locales.

Algunos objetos de estudio de los sistemas dinámicos complejos (foliaciones algebraicas, aplicaciones polinomiales y racionales, campos de vectores polinomiales) vienen en familias parametrizadas por variedades algebraicas. Además, para ellos, la noción natural de equivalencia está dada por la acción algebraica de un grupo algebraico. Desafortunadamente, la teoría geométrica de invariantes se ha mostrado poco adaptada para el estudio de estos objetos. Ha resultado conveniente usar ciertas funciones invariantes (definidas en las variedades que parametrizan a las familias) construidas a partir de objetos definidos en puntos especiales (e.g. las derivadas en los puntos fijos de aplicaciones). En general, tenemos más preguntas que respuestas. Hablaré de algunos resultados, tanto propios como ajenos, incluyendo los de un trabajo en colaboración con Valente Ramírez.

5:00 pm, 15 de febrero: Deformations of Varieties of General Type.

We study complex analytic deformations of smooth, projective, algebraic varieties of general type. We show that although such deformations need not be projective, they behave very much like projective deformations.













                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

5:00 pm, 7 de diciembre: On the unirationality of quadric bundles

An variety X over a field is unirational if there is a dominant rational map from a projective space to X. We will prove that a general quadric bundle, over a number field, with anti-canonical divisor of positive volume and discriminant of odd degree is unirational, and that the same holds for quadric bundles over an arbitrary infinite field provided that they have a point and that their dimension is at most five. As a consequence we will get the unirationality of any smooth 4-fold quadric bundle over the projective plane, over an algebraically closed field, and with discriminant of degree at most 12.







                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

5:00 pm, 16 de noviembre: Rigidity of moduli spaces.

Algebraic geometry contains an abundance of miraculous constructions. Examples include ``resolving the quartic''; the existence of 9 flex points on a smooth plane cubic; the Jacobian of a genus g curve; and the 27 lines on a smooth cubic surface. In this talk I will explain some ways to systematize and formalize the idea that such constructions are special: conjecturally, they should be the only ones of their kind. I will state a few of these many (mostly open) conjectures. They can be viewed as forms of rigidity (a la Mostow and Margulis) for various moduli spaces and maps between them.

5:00 pm, 30 de noviembre: Estabilidad de los haces de syzygies en superficies algebraicas.

Sea L un haz globalmente generado sobre una variedad proyectiva lisa. El haz de Syzygy, denotado por M_L, se define como el kernel del morfismo de evaluación. Los haces M_L han sido estudiados desde diferentes puntos de vista ya que tiene una estrecha relación con las variedades de Brill-Noether, la conjetura de la resolución maximal, la estabilidad del tangente del proyectivo restringido a la variedad, entre otros.

En esta plática hablaremos sobre la estabilidad del haz de syzygies sobre superficies algebraicas. En particular, veremos que M_L es estable para superficies de Hirzebruch, del Pezzo y Enriques. Este es un trabajo en conjunto con Alexis García Zamora (artículo).