Espacios cubrientes

Sea \(X\) un espacio localmente conexo por trayectorias y semilocalmente simplemente conexo. Fijemos de una vez una cubierta \(\{U_i : i \in I\}\) de \(X\) por abiertos \(U_{i}\) que son conexos por trayectorias y tales que \(U_{i} \hookrightarrow X\) induce el homomorfismo trivial en grupos fundamentales. Fijemos también un punto \(u_{i} \in U_{i}\) para cada \(i \in I\).

Notemos que dados dos puntos \(x,y \in U_{i}\), existen trayectorias entre ellos dentro de \(U_{i}\) y que cualesquiera dos de ellas son homotópicas¹ en \(X\). Denotemos al morfismo en \(\pi_{\le1}(X)\) determinado por cualquiera de estas trayectorias en \(U_{i}\) de \(x\) a \(y\) por \(x\thru{i} y\).

Sea \(F : \pi_{\le1}(X) \to \mathsf{Set}\) un funtor, vamos a construir el espacio cubriente \(p : Y \to X\) correspondiente.

Construímos \(Y\) como un cociente de \(\coprod_{i\in I} U_i \times F(u_i)\). Para cada \(x \in U_i \cap U_j\) identificamos \((x,a) \in U_i \times F(u_i)\) con \((x,F(u_i \thru{i} x \thru{j} u_j)(a))\). Como solo identificamos parejas que tienen la misma primer coordenada, la proyección \((x,a) \mapsto x\) está bien definida en el cociente \(Y\) y nos da una función continua \(p : Y \to X\).

Para probar que \(p\) es una aplicación cubriente basta ver que \(p^{-1}(U_i) = U_i \times F(u_i)\), es decir, que dentro de \(U_i \times F(u_i) \subset Y\) no estamos haciendo identificaciones. Si dos puntos \((x,a),(x,b) \in U_i \times F(u_i)\) se indentifican, es porque hay una cadena de abiertos \(U_i = U_{i_0}, U_{i_1}, \ldots, U_{i_n} = U_i\) que empieza y termina en \(U_i\), tal que \(x \in U_{i_j}\) para \(0 \le i \le n\), y \(b\) es el resultado de seguirle la pista a las identificaciones de \(U_{i_{j-1}} \times F(u_{i_{j-1}})\) con \(U_{i_j} \times F(u_{i_j})\) para \(j=1,\ldots,n\). Entonces, \[\begin{aligned} b & = F(u_{i_{n-1}} \thru{{i_{n-1}}} x \thru{{i_n}} u_{i_n}) \cdots F(u_{i_0} \thru{{i_1}} x \thru{{i_2}} u_{i_1}) F(u_{i_0} \thru{{i_0}} x \thru{{i_1}} u_{i_1})(a) \\ & = F(u_{i_0} \thru{{i_0}} x \thru{{i_1}} u_{i_1} \thru{{i_1}} x \thru{{i_1}} u_{i_2} \cdots x \thru{{i_n}} u_{i_n})(a) \\ & = F(u_i \thru{i} u_i)(a) = F(\mathsf{id}_{u_i})(a) = a \end{aligned}\] (Aquí todas las composiciones de la forma \(x \thru{{i_j}} u_{i_j} \thru{{i_j}} x\) son la identidad porque son lazos dentro de un solo \(U_{i_j}\).)

Esta construcción define en objetos un funtor \(\mathsf{Fun}(\pi_{\le1}(X),\mathsf{Set}) \to \mathsf{Cov}(X)\). Para definir la acción en morfismos, basta notar que dada una transformación natural \(\eta : F \Rightarrow G\), donde \(F,G : \pi_{\le1}(X) \to \mathsf{Set}\), la función \(\coprod_{i\in I} \mathsf{id} \times \eta_{u_i} : \coprod_{i \in I} U_i \times F(u_i) \to \coprod_{i \in I} U_i \times G(u_i)\) desciende a los cocientes por la naturalidad de \(\eta\): \[\eta_{u_j}(F(u_i \thru{i} x \thru{j} u_j)(a)) = G(u_i \thru{i} x \thru{j} u_j)(\eta_{u_i}(a)).\]

La teoría clásica de espacios cubrientes está enunciada usualmente en términos del grupo fundamental, no del grupoide funadamental, por lo que es usual restringirse a espacios conexos. Sea pues \(X\) un espacio conexo, localmente conexo por trayectorias y semilocalmente simplemente conexo. Entonces, si elegimos un punto base cualquiera \(x_0 \in X\), el grupoide \(\pi_{\le 1}(X)\) es equivalente a la categoría de un solo objeto correspondiente a \(G:=\pi_1(X,x_0)\), digamos \(\mathsf{B}G\). Como consecuencia, \(\mathsf{Fun}(\pi_{\le 1}(X), \mathsf{Set}) \simeq \mathsf{Fun}(\mathsf{B}G, \mathsf{Set})\).

Ahora, ¿qué es un funtor \(\mathsf{B}G \to \mathsf{Set}\)? Pues el único objeto de \(\mathsf{B}G\) tiene que ir a algún conjunto \(T\), y la acción del funtor sobre los morfismos nos da una acción de \(G\) sobre \(T\). De hecho, es fácil ver que \(\mathsf{Fun}(\mathsf{B}G, \mathsf{Set}) \simeq G\mathsf{-Set}\), donde \(G\mathsf{-Set}\) es la categoría de \(G\)-conjuntos, es decir, conjuntos equipados con una acción de \(G\) y funciones equivariantes entre ellos.

Eso nos lleva a nuestro primer corolario (siempre suponemos que \(X\) es localmente conexo por trayectorias y semilocalmente simplemente conexo, solo diré las condiciones adicionales):

Es tradicional restringirse también a cubrientes \(p : Y \to X\) que son conexos. Si \(Y\) es conexo, como es localmente homeomorfo a \(X\) y por tanto localmente conexo por trayectorias, entonces \(Y\) también es conexo por trayectorias. Podemos conectar cualesquiera dos puntos \(y_1, y_2 \in p^{-1}(x_0)\) por una trayectoria \(\bar{\gamma}\), si \(\gamma\) denota la clase en el grupo fundamental de \(X\) que corresponde a \(p \circ \bar{\gamma}\), tenemos que en el \(G\)-conjunto que corresponde a \(p\), \(\gamma \cdot y_1 = y_2\). Es decir, si \(Y\) es conexo, el \(G\)-conjunto correspondiente tiene una acción transitiva de \(G\).

Ahora, un \(G\)-conjunto transitivo, necesariamente es de la forma \(G/H\) donde \(H\) es algún subgrupo de \(G\): a saber si \(T\) es un \(G\)-conjunto transtivo, sea \(t_0 \in T\) y sea \(H = \{g \in G : g \cdot t_0 = t_0\}\); en ese caso, la función \(G/H \to T\), \(gH \mapsto g \cdot t_0\) está bien definida y es un isomorfismo de \(G\)-conjuntos.

Así que el corolario anterior nos dice que los cubrientes conexos de un espacio conexo corresponden a subgrupos del grupo fundamental. Para ser más precisos:

Si queremos subgrupos y no solo clases de conjugación, necesitamos escoger un punto base.

Finalmente, es bueno saber cómo calcular el grupo fundamental y el grupo de automorfismos de un cubriente:

Para la equivalencia \(\mathsf{Cov}(X) \simeq \mathsf{Fun}(\pi_{\le1}(X), \mathsf{Set})\):

• nLab, reconstruction of covering spaces from monodromy
• nLab, fundamental theorem of covering spaces

Para la equivalencia \(\mathsf{Cov}(X) \simeq \mathsf{OpFib}(\pi_{\le 1} (X))\):

• Concise Course in Algebraic Topology de Peter May, capítulo 3.
• Topology & Groupoids de Ronnie Brown, capítulo 10.

• Espacios cubrientes