Particiones óptimas para el problema de Yamabe en la esfera

Resumen:

El problema de Yamabe es un problema fundamental en geometría diferencial. Plantea la pregunta de si el teorema clásico de uniformización para superfcies, demostrado por Poincaré y Koebe en 1907, es válido para variedades riemannianas de dimensión mayor.

En esta charla abordaremos la existencia de particiones óptimas para el problema de Yamabe. Es decir, de particiones de la variedad en subconjuntos abiertos, ajenos por pares, en los que el problema de Yamabe tiene solución, y la suma de las energías de estas soluciones es minimizante.

Para probar la existencia de dichas particiones usaremos una idea que proviene de la física cuántica, concretamente, del comportamiento de una mezcla de condensados de Bose-Einstein. Ocurre que, cuando la interacción entre partículas en dos estados diferentes es repelente, los condensados se separan espacialmente. A este fenómeno se le llama separación de fase.

El modelo matemático para este fenómeno físico es  un sistema de ecuaciones elípticas no lineales. Mediante el análisis de las soluciones de un sistema de este tipo, obtendremos la existencia de particiones óptimas, con ciertas simetrías, para la ecuación de Yamabe en la esfera. Veremos además que dichas particiones dan lugar a soluciones minimizantes que cambian de signo para el problema de Yamabe, con un número prescrito de regiones nodales.

Estos resultados se obtuvieron en colaboración con Alberto Saldaña (IM-UNAM) y Andrzej Szulkin (Stockholm University).