Curso avanzado de Probabilidad: Cálculo Estocástico

Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM, Semestre 2013-I

Horario: Lunes y miércoles 15h-16h30, Salón de Seminarios 1, Instituto de Matemáticas

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

  1. Movimiento browniano
  2. Martingalas continuas
  3. Integración estocástica respecto de martingalas continuas
  4. Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas

Liga al temario.

Prerequisitos:

  1. Probabilidad I a nivel posgrado
  2. Temas selectos de Procesos Estocásticos I
    1. Martingalas en general, particularmente
      1. Teorema de muestreo opcional
      2. Martingalas e integrabilidad uniforme
      3. Desigualdades de cruces, maximal y Lp de Doob
      4. Teorema de regularización de martingalas
    2. Movimiento Browniano

La evaluación se realizará a partir tareas examen y exposiciones.

Repositorio de notas y tareas: 2013-I

Bibliografía

  • Introduction to stochastic integration, K.L. Chung y R.J. Williams, Birkhäuser, 1990
  • Differential equations determining a Markov process, K. Itô, en sus Selected Papers editado por Stroock y Varadhan, Springer, 1987
  • Brownian motion and stochastic calculus,I. Karatzas y S.E. Shreve, Springer-Verlag, 1991
  • Continuous Martingales and Brownian Motion , D. Revuz y M. Yor, Springer, 1999
  • Diffusions, Markov processes, and martingales (Vol. 2), L. C. G. Rogers y D. Williams, Cambridge University Press, 2000
  • Procesos Estocásticos , C. Tudor, Sociedad Matemática Mexicana, 1994

    • Bitácora

    Capítulo 1, Integración estocástica respecto del movimiento browniano

    6 de Agosto
    Discutimos sobre la organización del curso
    Recordamos la definición de movimiento browniano
    Se vió una motivación y dificultades obvias del estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas
    10 de Agosto
    Conceptos de teoría general de procesos estocásticos
    Trayectorias, mismas distribuciones finito-dimensionales, modificaciones, indistinguibilidad
    Medibilidad, Filtraciones, adaptabilidad, medibilidad progresiva
    13 y 15 de Agosto
    No hubo clase
    20 de Agosto
    Tiempos aleatorios y tiempos de paro
    Ejemplos de tiempos de paro (tiempos de arribo)
    La sigma álgebra de eventos anteriores a un tiempo de paro
    23 de Agosto
    Repaso de la teoría de martingalas:
    Muestreo opcional, desigualdades de cruces, maximal y en L_p, teorema fundamental de convergencia, teorema de regularización
    Extension de los resultados a martingalas continuas por la derecha
    27 de Agosto
    Variación cuadrática del movimiento browniano en ley
    Prueba adicional de existencia del movimiento browniano
    Funciones de variación acotada y la integral de Lebesgue-Stieltjes:
    Descomposición de Jordan, Fórmula de integración por partes, regla de la cadena
    29 de Agosto
    Prueba de la regla de la cadena
    La inversa cad de una función cad y creciente
    La fórmula de cambio de variable
    3 de Septiembre
    Existencia de la integral estocastica de integrandos continuos y adaptados respecto del movimiento browniano
    Existencia de una modificación continua de la integral estocástica
    5 de Septiembre
    Propiedad de martingala de la integral estocástica
    Fórmula de Itô
    10 de Septiembre
    Teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) bajo una condición de Lipschitz global
    Lema de Gronwall
    Prueba de la unicidad
    12 de Septiembre
    Prueba de unicidad para EDE bajo condiciones de Lipschitz
    Prueba de existencia
    Enunciado de la propiedad de Markov para soluciones a EDE
    17 y 19 de Septiembre
    ????
    24 de Septiembre
    No hubo clase
    26 de Septiembre
    Existencia de la variación cuadrática de una martingala continua y acotada
    Martingalas locales continuas
    Existencia de la variación; cuadrática de martingalas locales continuas
    1 de Octubre
    Semimartingalas y su covariación
    Preliminares sobre espacios de Hilbert
    El espacio de Hilbert de las martingalas acotadas en L_2
    Importancia de las condiciones habituales
    3 de Octubre
    La desigualdad de Kunita-Watanabe
    El espacio L_2(M)
    Procesos elementales y su densidad en L_2(M)
    8 de Octubre
    La integral estocástica elemental
    Existencia de la integral estocástica para martingalas acotadas en L_2
    Propiedades básicas: detención y asociatividad
    10 de Octubre
    El espacio de integrandos L_2^{loc}(M)
    Integración respecto de martingalas locales continuas
    Existencia y propiedades básicas de la integral estocástica respecto de semimartingalas continuas
    15 de Octubre
    La fórmula de Itó para semimartingalas vectoriales
    La exponencial estocástica
    17 de Octubre
    El teorema de Dambis-Dubins Schwarz:
    Martingalas locales continuas como movimientos brownianos cambiados de tiempo
    22 de Octubre
    La norma del movimiento browniano delta-dimensional:
    Funcion de escala para el proceso de Bessel
    Recurrencia en el sentido de las vecindades y transitoriedad
    24 de Octubre
    La ecuación diferencial estocástica para cuadrados de procesos de Bessel
    Unicidad y existencia débil mediante una ecuación diferencial ordinaria aleatoria asociada
    29 de Octubre
    Prueba del teorema de Knight
    31 de Noviembre
    No hubo clase por el congreso de la SMM
    5 de Noviembre
    El movimiento browniano complejo
    Martingalas locales complejas y martingalas locales conformes
    Invariancia conforme de las trayectorias brownianas
    7 de Noviembre
    El movimiento browniano y el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace
    12 de Noviembre
    El teorema de Girsanov y aplicaciones
    14 de Noviembre
    La ley arcoseno vía la fórmula de Kac
    21 de Noviembre
    La fórmula de Feynman-Kac general
    Liga entre movimiento browniano y ecuación; de calor
    El movimiento browniano matado y la ecuación de calor con disipación