Procesos Estocasticos I

Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM, Semestre 2013-II

Horario: Martes y Jueves 11h-13h30, Salón de Seminarios 3, Instituto de Matemáticas

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

  1. Martingalas
  2. Procesos de Markov
  3. Procesos de Poisson
  4. Procesos gaussianos y movimiento brownaino

Liga al temario oficial.

Prerequisitos: Probabilidad I a nivel posgrado. (Especialmente esperanza condicional.)

Repositorio de Notas y Tareas: 2013-II

Bibliografía

Bibliografía general

  1. Probability: Theory and examples, R. Durrett, Cambridge University Press, 2010.
  2. Probability Essentials, J. Jacod y P. Protter, Springer, 2003
  3. Foundations of Modern Probability, O. Kallenberg, Springer, 2002
  4. Continuous Martingales and Brownian Motion , D. Revuz y M. Yor, Springer, 1999
  5. Procesos Estocásticos , C. Tudor, Sociedad Matemática Mexicana, 1994
  6. Probability and measure, P. Billingsley, Wiley, 1995

Martingalas

  1. Martingale limit theory and its application , P. Hall and C. C. Heyde, Academic Press Inc., 1980
  2. Discrete parameter martingales , J. Neveu, North-Holland Publishing Co., 1975
  3. Probability with martingales , D. Williams, Cambridge University Press, 1991

Cadenas y Procesos de Markov

  1. Markov chains, J. Norris, Cambridge University Press, 1998

Movimiento Browniano

  1. Brownian Motion, P. Mörters and Y. Peres, Cambridge University Press, 2010

Bitácora

Capítulo 1, Martingalas

29 de Enero
Repaso: definición y propiedades de la esperanza condicional
Definición de filtración, martingala, submartingala y supermartingala
Funciones convexas de martingalas
Ejemplos de martingalas: esperanza condicional de una misma variable dados los elementos de una filtración
31 de Enero
Martingalas asociadas a caminatas aleatorias
El esquema de doblar apuestas
Urnas de Pólya
Tiempos de paro
El teorema de muestreo opcional de Doob
Aplicación: el problema de la ruina
5 de Febrero
La desigualdad de cruces de Doob
El teorema de convergencia casi segura de martingalas
Las desigualdades maximal y en L_p de Doob (p>1)
Convergencia casi segura y en L_p de martingalas acotadas L_p (p>1)
7 de Febrero
La probabilidad de extinción en procesos de Galton-Watson
Un criterio para que el proceso de Galton-Watson supercrítico tenga crecimiento exponencial
Integrabilidad uniforme
Una martingala es cerrada si y sólo si es uniformemente integrable
12 de Febrero
Teorema de convergencia de Lévy hacia adelante
Ley 0-1 de Kolmogorov
Teorema de convergencia de Lévy hacia atrás
Ley fuerte de los grandes números
Identificación del límite en el esquema de urnas de Pólya
14 de Febrero
Martingalas y Tiempos de aparición de patrones en sucesiones iid
Series aleatorias y su convergencia: equivalencia entre convergencia en distribución y casi segura

Capítulo 2, Cadenas de Markov

19 de Febrero
Construcción de una sucesión iid de variables Bernoulli
El espacio canónico
Construcción de una sucesion iid de variables uniforme
La función de cuantiles
Construcción de una sucesión de variables independientes con distribuciones dadas
Construcción de cadenas de Markov
21 de Febrero
Análisis básico de cadenas de Markov
Clases de comunicación
La propiedad de Markov
26 de Febrero
La propiedad de Markov en el espacio canónico
Aplicaciones:
El problema de la ruina
Extinción y superviviencia en procesos de Galton-Watson
Cadenas de Nacimiento y Muerte
Caminatas aleatorias y funciones armónicas discretas
28 de Febrero
La propiedad de Markov fuerte
Tiempos de arribo para caminatas aleatorias simples
El mínimo de caminatas aleatorias skip-free
El principio de reflexión
5 de Marzo
El teorema de Pitman para la caminata aleatoria simple
Recurrencia y transitoriedad via la propiedad de Markov fuerte
7 de Marzo
Medidas invariantes
Existencia y unicidad para cadenas irreducibles y recurrentes
Positivo-recurrencia y distribuciones invariantes
12 de Marzo
El teorema fundamental de convergencia de cadenas de Markov
La prueba de Doeblin por acoplamiento
Cadenas regulares y la prueba en el caso finito
Cadenas absorbentes y la matriz fundamental

Capítulo 4, Procesos de Poisson y otros procesos de Lévy

2 de Abril
El proceso de Poisson como proceso de renovación
Definición de Procesos de Lévy
El proceso de Poisson es un proceso de Lévy
El proceso de Poisson compuesto y por qué es un proceso de Lévy
Martingalas lineal, cuadrática y exponencial asociadas a procesos de Lévy
4 de Abril
Medidas de Poisson aleatorias
Existencia de medidas de Poisson aleatorias
Integrales respecto de medidas de Poisson aleatorias y la fórmula exponencial
9 de Abril
Construcción de subordinadores a partir de medidas de Poisson aleatorias
El proceso de Poisson como proceso de Markov:
El proceso de Poisson que comienza en k
La matriz infinitesimal y las ecuaciones de Kolmogorov

Capítulo 5, Cadenas de Markov a tiempo continuo

11 de Abril
El proceso de nacimiento y muerte
El fenómeno de explosión
La propiedad de Markov
Construcción de procesos de Markov a tiempo continuo mediante tasas de transición
15 de Abril
El espacio canónico de trayectorias constantes por pedazos minimales
Semigrupo de probabilidades de transición, ecuaciones de Chapman-Kolmogorov
Cadenas de Markov con trayectorias constantes por pedazos y familias markovianas asociadas
La propiedad de Markov
Definición de la matriz infinitesimal asociada a partir de la propiedad de Markov
La propiedad de Markov fuerte y la cadena (a tiempo discreto) asociada
18 de Abril
Descripción de una familia markoviana en términos de una cadena de Markov y variables exponenciales
La ecuación backward de Kolmogorov
23 de Abril
Distribuciones invariantes para cadenas de Markov a tiempo continuo
El teorema fundamental de convergencia a tiempo continuo

Capítulo 6, El movimiento browniano

23 de Abril
Definición del movimiento browniano como proceso de Lévy
Vectores y procesos gaussianos
Definición de movimiento browniano como proceso gaussiano
Existencia del movimiento browniano mediante el método recursivo de Lévy
25 de Abril
Criterio de continuidad de Kolmogorov
Existencia del movimiento browniano mediante el método de Kolmogorov
El espacio canónico de trayectorias continuas y la medida de Wiener
La propiedad de Markov fuerte (recordatorio, se había probado para procesos de Lévy)
Martingalas asociadas al movimiento browniano
Propiedades de invariancia del movimiento browniano: simetría, autosimilitud, inversión temporal
30 de Abril
Procesos asociados al movimiento browniano: proceso de calor, movimiento browniano multidimensional, proceso de Bessel, tiempos de arribo, máximo acumulativo...
El lema de encaje de Skorohod
El principio de invariancia de Donsker
2 de Mayo
El principio de reflexión
Tiempos de arribo brownianos y el subordinador 1/2-estable
El máximo acumulativo del movimiento browniano
7 de Mayo
Examen sobre cadenas de Markov a tiempo continuo
Conferencia de Juan Carlos Pardo Problemas de Salida para Procesos de Lévy
9 de Mayo
Funciones armónicas y movimiento browniano
Movimiento browniano y la ecuación de calor
14 de Mayo
El movimiento browniano matado al llegar a cero como proceso de Markov
Conferencia de Andreas Kyprianou: Self-similar Markov processes
16 de Mayo
La ecuación de Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piskounov y su solución mediante movimientos brownianos con ramificación
Árboles de Galton-Watson y la distribución del tamaño total
21 de Mayo
Finitud de momentos de procesos de Lévy con saltos acotados
Caracterización de subordinadores con trayectorias continuas
La medida de saltos asociada a un subordinador es una medida de Poisson aleatoria
La descomposición de Lévy-Itô y la fórmula de Lévy-Kintchine para subordinadores
23 de Mayo
Caracterización de procesos de Lévy con trayectorias continuas
La medida de saltos y la medida de Lévy asociada a un proceso de Lévy
La descomposición de Lévy-Itô y la fórmula de Lévy-Kintchine