Procesos Estocasticos II
Horario y lugar: Lunes a viernes, 12-13h, Salón de Seminarios 2 del Instituto de Matemáticas
Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, UNAM, e-mail:
geronimo@matem.unam.mx)
Ayudante: Daniel Cervantes (Facultad de Ciencias, UNAM, e-mail:
danielcf@ciencias.unam.mx)
Descripción del curso
Listado de temas:
- Caminatas aleatorias
- Procesos de Galton-Watson
- Cadenas de Markov a tiempo continuo
- Movimiento browniano y Procesos de Lévy
- Introducción a la integral estocástica
Presentación del curso, temario y bibliografía
Bitácora
- 19/08/05
- Motivación del temario
- Evaluación
- 19/08/06
- Analizaremos el libro de Feller Vol I Cap. 3
- Definición de trayectoria
- El lema de reflexión
- El teorema de las votaciones
- 19/08/07
- Def. de caminata aleatoria simple y simétrica
- Probabilidades de visita a cero y primera visita a cero
- Cálculo de la probabilidad de visitar cero por primera vez hasta después de 2n volados
- 19/08/08
- Cálculo de la distribución del primer retorno a cero en 2n pasos
- Cálculo de la distribución del instante en que ocurre la última visita a cero en 2n pasos
- Teorema límite para la variable anterior (obtención de la distribución arcoseno)
- 19/08/9
- La ley arcoseno y el tiempo que la caminata es positiva
- Caminatas con punto final y máximo dado
- 19/08/13
- Cálculo de la distribución del máximo de n pasos de la caminata
- Tiempos de pasaje (Tiempos de primera visita)
- Cálculo de la distribución de los tiempos de visita
- Recordatorio del teorema límite central
- 19/08/14
- Recordatorio de convergencia débil
- Enunciado del teorema límite central y su versión local
- Teorema límite para el tiempo de primera visita
- 19/08/15
- Solución y discusión del ejercicio 10.1 cap. 3 de Feller Vol. I.
- Revisión de dudas de ejercicios.
- 19/08/16
- Recordatorio sobre la transformada de Laplace
- Teorema de continuidad para la transformada de Laplace
- Comienzo de la prueba del teorema límite para el tiempo de primera visita, versión con transformada de Laplace
- 19/08/19
- Revisión de dudas de ejercicios.
- 19/08/20
- Relación entre las distribuciones de tiempos de arribo y visitas a cero
- Equivalencia entre teoremas límite para las distribuciones anteriores
- Prueba del teorema límite para tiempos de arribo mediante transformadas de Laplace
- 19/08/21
- Revisión de dudas de ejercicios.
- Hint para resolver el ejercicio 11.
- 19/08/23
- El proceso de Galton-Watson
- Funciones generadoras, iteración
- El criterio fundamental de extinción
- 19/08/26
- La propiedad de ramificación
- El proceso de Galton-Watson con inmigración y una propiedad de ramificación
- Una martingala asociada al proceso de Galton-Watson
- Enunciado del teorema de convergencia de martingalas no-negativas
- Extinci\'on casi segura en el caso (sub)cr\'itico mediante martingalas y el lema de Borel-Cantelli
- Crecimiento geom\'etrico con velocidad aleatoria mediante martingalas
- 19/08/27
- Árboles planos y definiciones básicas
- Construcción del árbol de Galton-Watson
- 19/08/28
- Propiedad de ramificación de árboles Galton-Watson
- El perfil del árbol de Galton-Watson es un proceso de Galton-Watson
- 19/09/29
- Caminatas por amplitud y a profundidad de árboles planos
- Biyecci\'on entre árboles y caminatas
- Relación entre caminatas aleatorias y árboles de Galton-Watson: enunciado
- 19/09/02
- Probabilidad de que el árbol GW sea igual a un árbol dado
- Relación entre caminatas aleatorias y árboles de Galton-Watson: demostración
- 19/09/04
- Caminatas aleatorias sin huecos (skip-free)
- Los tiempos de arribo constituyen otra caminata aleatoria
- Enunciado del lema cíclico
- 19/09/06
- Lema cíclico
- Fórmula de Kemperman para tiempos de arribo
- La martingala exponencial
- 19/09/09
- Propiedades de la funciónes generadoras de caminatas aleatorias sin huecos
- El mínimo de caminatas aleatorias skip free hasta un tiempo geométrico
- 19/09/10
- Caminatas aleatorias con distribución de salto continua
- La transformación de Vervaat
- Minorantes convexos de caminatas aleatorias
- La transformación 3214
- 19/9/25
- El proceso de Poisson
- Prueba de que un proceso de Poisson es de Lévy
- 19/10/01
- Propiedad de Markov de procesos de Lévy
- Enunciado y parte de la prueba de la propiedad de Markov fuerte de procesos de Lévy
- 19/10/04
- Prueba de la propiedad de Markov fuerte para procesos de Lévy
- Un proceso de contéo es de Lévy si y sólo si es de Poisson
- El proceso de Poisson como proceso de Markov
- 19/10/07
- El proceso de nacimiento puro y el proceso de Yule
- El fenómeno de explosión, condición necesaria y suficiente
- Propiedad de Markov
- 19/10/08
- Las ecuaciones de Kolmogorov para el proceso de Poisson y de nacimiento puro
- Lema para un nuevo ejemplo: el mínimo de variables exponenciales
- 19/10/10
- El modelo de relojes estocásticos
- Propiedad de Markov y distribuciones finito-dimensionales
- Heurística sobre ecuaciones de Kolmogorov
- La matriz infinitesimal
- 19/10/14
- Trayectorias admisibles
- Def. de cadena de Markov a tiempo continuo
- Enunciado: caracterización de cadenas de Markov a tiempo continuo
- 19/10/16
- El proceso de Poisson y el proceso de Poisson compuesto en los enteros
- El proceso de Yule y los procesos de Galton-Watson a tiempo continuo
- Ecuaciones de cambio de tiempo: relación entre las clases anteriores de procesos
- 19/10/21
- El proceso de tiempos de arribo del movimiento browniano
- Cálculo de la transformada de Laplace via martingalas