Suma de Minkowski y función soporte
Índice
Fecha de entrega: Lunes 28 de octubre
Suma de Minkowski
Sumas de segmentos
- Sea \(H\) un hexágono regular en el plano. Demuestra que \(H\) es suma de Minkowski de tres segmentos, es decir que existen segmentos \(I, J, K\) en el plano tal que \(I+J+K = H\).
- Da un ejemplo de un hexágono que es suma de tres segmentos en el plano, pero que no sea regular.
- Da un ejemplo de un hexágono convexo que no es suma de tres segmentos en el plano. (Demuestra que efectivamente no se puede poner como suma de tres segmentos).
- Este problema no es para entregar. Sea \(A\) un matriz \(m \times n\) con entradas reales. Prueba que \(A[0,1]^n\) es un convexo en \(\mathbb{R}^m\) que se puede obtener como suma de \(n\) segmentos de recta. (Recuerda que \(A\) corresponde a una transformación lineal \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\); y \(A[0,1]^n\) denota la imagen del hipercubo \([0,1]^n\) bajo esa transformación).
Área y perímetro
- Sea \(P\) un polígono convexo en el plano. Describe la suma \(P_R := P + \bar{B}_R(0)\) de \(P\) con la bola cerrada de radio \(R\). Escribe el área y el perímetro de \(P_R\) como función de \(R\) y del área y perímetro de \(P\).
Cancelación y Restas
- Demuestra que si \(K\), \(L\) y \(M\) son convexos compactos tales que \(K+L \subseteq K+M\), entonces \(L \subseteq M\).
- Calcula \(K-K\) si \(K\) es un triángulo equilátero. (Recuerda que \(K-K\) no es cero, es \(\{x-y : x, y \in K\}\)).
Simetrización de Steiner
- Sea \(K\) un convexo compacto en el plano y sea \(S\) su simetrización de Steiner (sin pérdida de generalidad, supón que simetrizamos con respecto al eje \(x\)). Prueba que el diámetro de \(S\) es menor o igual que el diámetro de \(K\).
- Sea \(K\) un convexo en el plano que es simétrico con respecto al eje \(y\) y sea \(S\) su simetrización con respecto al eje \(x\). Prueba que \(S\) es simétrico con respecto a ambos ejes y con respecto al origen.
Desigualdad isoperímetrica
El siguiente problema no es para entregar.
- Sea \(\ell\) una recta en el plano. Dada una curva \(\gamma\) en el plano, sin autointersecciones, cuyos extremos están sobre \(\ell\) pero que no corta a \(\ell\) aparte de eso, hay una región \(R\) delimitada por \(\ell\) y \(\gamma\). ¿Cuál es la máxima área posible para \(R\) si la curva \(\gamma\) tiene longitud \(t\)?
Otra vez aplicaciones del teorema de Helly
En esta sección no hay problemas para entregar.
Repasa las aplicaciones del teorema de Helly que hemos visto en el curso, particularmente las de la tarea 2 y del examen parcial 1, pero también algunas más que vimos en clase y en la ayudantía.