Valores regulares y sumersiones
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Hasta ahora no tenemos ninguna manera muy práctica de producir nuevas variedades suaves. Realmente la única herramienta que tenemos es la definición, y probar que un subconjunto de un euclideano es una variedad suave involcura encontrar suficientes parametrizaciones de pedazos del subconjunto como para cubrirlo todo. Afortunadamente hay una forma más fácil.
Un punto \(y \in Y\) es un valor regular para una función suave \(f : X \to Y\) si para toda \(x \in f^{-1}(y)\) la derivada \(d_{x}f : T_{x}X \to T_{y}Y\) es suprayectiva.
Los valores regulares permiten fácilmente construir subvariedades suaves nuevas:
Si \(y \in Y\) es un valor regular para \(f : X \to Y\), entonces \(f^{-1}(y)\) es una subvariedad suave de \(X\).
Este teorema es muy práctico. Por ejemplo si queremos verificar que la esfera \(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1\}\) es una variedad suave, basta revisar que \(1\) es un valor regular de la función \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\), \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\). Esto es fácil de ver porque la derivada tiene matriz \((2x,2y,2z)^t\), que es suprayectiva siempre y cuando \(2x\), \(2y\) y \(2z\) no sean simultáneamente 0. Y en los puntos de \(f^{-1}(0)\) no pueden ser simultáneamente 0. ¡Fácil!
Preguntas
- ¿De qué dimensión es la variedad \(f^{-1}(y)\) cuando \(y\) es un valor regular de \(f\)? Asegúrate de entender intuitivamente por qué, además de leer la prueba en el libro.
- ¿Cómo se relaciona el espacio tangente a \(f^{-1}(y)\) (cuando \(y\) es valor regular de \(f\)) con la derivada \(d_xf : T_xX \to T_yY\)?
- Si \(y\) no es valor regular de \(f\), ¿qué puede pasar con \(f^{-1}(y)\)? Dibuja algunos ejemplos donde no es variedad, y algunos ejemplos donde sí lo es, pero su dimensión no coincide con la fórmula para el caso regular.
- El ejemplo de \(O(n)\) que viene en el libro es muy importante, asegúrate de entenderlo.1
Tarea
Fecha de entrega:
[Guillemin y Pollack, 1.5.11]
(a) Prueba que \(SL_{n}(\mathbb{R})\), el conjunto de las matrices de \(n \times n\) con entradas reales y determinante 1, es una variedad suave, cuando lo pensamos como subconjunto de \(\mathbb{R}^{n^2}\), que podemos pensar como el espacio de matrices de \(n \times n\).
(b) Prueba que el espacio tangente a \(SL_n(\mathbb{R})\) en la matriz identidad es el espacio vectorial de matrices de \(n \times n\) con traza igual a \(0\).
Considera la siguiente función suave conocida como la fibración de Hopf: \(p : S^3 \to S^2\) dada por \(p(w,z) = (2 \mathrm{Re}(w \bar{z}), 2 \mathrm{Im}(w \bar{z}), |w|^2-|z|^2)\) donde estamos pensando a la esfera unitaria \(S^3 \subseteq \mathbb{R}^4 \cong \mathbb{C}^2\) como el conjunto \(\{(w,z) \in \mathbb{C}^2 : |w|^2+|z|^2=1\}\).
(a) Verifica que \(p(w,z)\) de verdad está en \(S^2 = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 : |\mathbf{x}|=1\}\).
(b) Prueba que \(p\) es una sumersión.
(c) Prueba que todas las preimágenes \(p^{-1}(y)\) son difeomorfas a \(S^1\) para cualquier \(y \in S^2\).
- [Guillemin y Pollack, 1.5.5] Prueba que 0 es el único valor crítico de \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\), \(f(x,y,z) =x^2 + y^2 - z^2\). Prueba que si \(a\) y \(b\) son mabos positivos o ambos negativos entonces \(f^{-1}(a)\) y \(f^{-1}(b)\) son difeomorfos, y prueba que si \(a>0\) y \(b<0\) entonces \(f^{-1}(a)\) y \(f^{-1}(b)\) no son difeomorfos. ¿Es \(f^{-1}(0)\) una variedad suave?
Referencias
- Guillemin y Pollack, sección 1.4, (p. 20–27)
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