Uniones e Intersecciones de Familias

Teorema 17   Si $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia de conjuntos, la colección que tiene por elementos a los elementos que pertenecen a $A_i$ para toda $i$ en $I$ es un conjunto al que denotamos $\bigcap\{A_i\}_{i\in I}$ o $\underset{i\in I}{\bigcap} A_i$ y llamamos la intersección de la familia $\{A_i\}_{i\in I}$.

Por ejemplo, si $I$ fuera el conjunto¹ de los alumnos que están inscritos en la clase de Álgebra Superior, para cada $i$ en $I$, es decir, para cada alumno de la clase podemos considerar el conjunto $A_i$ que tiene por elementos a los estados de la República en los que ha estado. Entonces, la intersección de la familia $\{A_i\}_{i\in I}$ es igual al conjunto de estados de la República en los que han estado todos los alumnos del curso. Notemos que este conjunto tiene al menos un elemento, el Distrito Federal; y si algún alumno no ha estado en, digamos Yucatán, entonces Yucatán no está en la intersección de la familia.

Teorema 18   Si $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia de conjuntos, la colección que tiene por elementos a los elementos que pertenecen a algún conjunto $A_i$ para $i$ en $I$ es un conjunto al que denotamos $\bigcup\{A_i\}_{i\in I}$ o $\underset{i\in I}{\bigcup} A_i$ y llamamos la unión de la familia $\{A_i\}_{i\in I}$.

Por ejemplo, si $I$ fuera el conjunto de los alumnos que están inscritos en la clase de Álgebra Superior, para cada $i$ en $I$, es decir, para cada alumno de la clase podemos considerar el conjunto $A_i$ que tiene por elementos a los lápices que trae el alumno $i$ en la mochila. Entonces, la unión de la familia $\{A_i\}_{i\in I}$ es igual al conjunto que tiene por elementos todos los lápices que traen en la mochila cada uno de los alumnos en la clase de Álgebra Superior.

Las siguientes propiedades son conocidas como leyes de De Morgan para familias de conjuntos.

Teorema 19   Si $E$ es un conjunto y $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia de conjuntos entonces:

1. $E\backslash \underset{i\in I}{\bigcup} A_i = \underset{i\in I}{\bigcap} (E\backslash A_i)$
2. $E\backslash \underset{i\in I}{\bigcap} A_i = \underset{i\in I}{\bigcup} (E\backslash A_i)$

Nota que en particular estas igualdades son válidas para familias de dos conjuntos, es decir, si $A$, $B$ y $E$ son tres conjuntos, entonces:

1. $E\backslash (A\cup B) =(E\backslash A)\cap (E\backslash B)$
2. $E\backslash (A\cap B) =(E\backslash A)\cup (E\backslash B)$

Las leyes de De Morgan nos permiten probar el principio de dualidad el cual dice que si tenemos una igualdad entre conjuntos que involucre únicamente uniones e intersecciones, entonces también es válida la igualdad dual, la cual se obtiene cambiando los símbolos de unión por intersección y los símbolos de intersección por unión en la igualdad original (ver ejercicio 12). Notese que el principio de dualidad es falso si en la igualdad original no intervienen solamente uniones e intersecciones (ver ejercicios 13, 14 y 15).