Ejercicios

1. Demuestra que si $A$ es un conjunto, la colección de todos los objetos que no son elementos de $A$ no es un conjunto.
2. $A\cap B=A\backslash (A\backslash B)$.
3. Si $A\cup B\subseteq C$, entonces $A\backslash B=A\cap (C\backslash B)$.
4. $A\subseteq B$ si y sólo si para todo conjunto $E$, $E\backslash B\subseteq E\backslash A$.
5. $A\backslash (B\backslash C)=(A\backslash B)\cup (A\cap C)$.
6. Muestra por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son falsas:
   1. $A\backslash B=B\backslash A$.
   2. Si $A\subseteq B\cup C$ entonces $A\subseteq B$ o $A\subseteq C$.
7. Definimos la diferencia simétrica de $A$ y $B$ como el conjunto $(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$ y lo denotamos por $A\triangle B$. Demuestra que:
   1. $A\triangle \emptyset=A$.
   2. $A\triangle B=\emptyset$ si y sólo si $A=B$.
   3. Si $A\triangle B= A\triangle C$, entonces $B=C$.
8. $A\times B=\emptyset$ si y sólo si $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$.
9. $A\times B=B\times A$ si y sólo si $A=B$.
10. $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (B\times C)$.
11. $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (B\times C)$.
12. Usando las leyes de De Morgan y el ejercicio 4 enuncia y demuestra las igualdades duales de los siguientes enunciados:
    1. $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$.
    2. $A\cap\big(\underset{i\in I}{\bigcup}B_i\big)= \underset{i\in I}{\bigcup}(A\cap B_i)$
13. $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)$
14. $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$
15. Muestra con un ejemplo que la igualdad en el ejercicio 14 no siempre se cumple.