Matrices Elementales

Por un sistema de $m$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas entendemos un arreglo de la forma:

$$% latex2html id marker 1033 S=\left\{\begin{split}a_{11}x_1+\d... ...m{..}\vdots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n &= b_m\end{split}\right.$$ (1)

donde $a_{ij}$ y $b_i$ son números reales.

Cuando tenemos un sistema como este, queremos encontrar su conjunto de soluciones, es decir, el conjunto de $n$-ádas de números reales $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ tales que las igualdades de (1) se cumplen.

Si el sistema de ecuaciones lineales es de la forma

$$% latex2html id marker 1043 \left\{\begin{split}a_{11}x_1+a_{12}x_2 &= b_1\\ a_{21}x_1+a_{21}x_2 &= b_2\end{split}\right.$$ (2)

donde $a_{11}$ es diferente de cero, un método para encontrar sus soluciones consiste en sumar a la segunda ecuación $-\frac{a_{21}}{a_{11}}$-veces la primer ecuación, y así obtener el sistema:

$$% latex2html id marker 1049 \left\{\begin{split}a_{11}x_1+a_{1... ...{11}}\right)x_2 &= b_2-\frac{a_{21}b_1}{a_{11}}\end{split}\right.$$ (3)

Por último, basados en la creencia de que el conjunto de soluciones del sistema (2) es igual al conjunto de soluciones del sistema (3), encontramos el conjunto de soluciones de (2) sustituyendo la segunda ecuación de (3) en la primera. Así, llegamos a lo siguiente:

1. Si $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0$ el conjunto de soluciones es igual a:
   $$\left\{\left( \frac{b_1}{a_{11}}-\frac{a_{12}}{a_{11}} \left(\fra... ...\right), \frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}\right)\right\}$$

2. Si $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0$ y $b_2a_{11}=b_1a_{21}$ el conjunto de soluciones es igual a:
   $$\left\{\left(\frac{b_1}{a_{11}}-\frac{a_{12}}{a_{11}}x,x\right) \Bigg\vert \;x\in\mathbb{R}\right\}$$

3. Si $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0$ pero $b_2a_{11}\neq b_1a_{21}$ el conjunto de soluciones es vacío.

Para intentar extender este método a sistemas de ecuaciones lineales arbitrarios, es conveniente ver a un sistema de ecuaciones desde un punto vista matricial.

Recordemos primero que una matriz de $m\times n$ es un arreglo de la forma:

$$% latex2html id marker 1067A=(a_{ij})=\left( \begin{array}... ...ots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{array} \right)$$

donde $a_{ij}$ son números reales y que si $A=(a_{ij})$ es una matriz de $m\times n$ se define la transpuesta de $A$ como la siguiente matriz de $n\times m$:

$$% latex2html id marker 1079A^t=\left( \begin{array}{c c c}... ...ots & \vdots \\ a_{1m} & \dots & a_{nm} \end{array} \right)$$

También, si $A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$ son dos matrices de $m\times n$ y de $n\times r$ respectivamente, entonces el producto $A\cdot B$ se define como la matriz de $m\times r$ que tiene en su $ij$-ésima entrada a la suma $\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$.

Con esta notación, un sistema de $m$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas como (1) puede verse como una pareja ordenada $S=(A,B)$ donde $A=(a_{ij})$ es una matriz de $m\times n$ llamada la matriz de coeficientes del sistema y $B=(b_i)$ es una matriz de $m\times 1$.

De este modo, el conjunto de soluciones del sistema $S=(A,B)$ es igual al conjunto

$$\big\{x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mid A\cdot x^t=B\big\}$$

donde $x^t$ denota a la matriz transpuesta de la $n$-áda $(x_1,\dots,x_n)$ vista como una matriz de $1\times n$:

$$% latex2html id marker 1123x^t=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right)$$

Notemos ahora que si $e_{ij}^m(a)$ denota a la matriz elemental de $m\times m$ con $ij$-ésima entrada igual a $a$, es decir, la matriz de $m\times m$ que tiene $1$'s en la diagonal, $a$ en la $ij$-ésima entrada y ceros en las entradas restantes, entonces:

$$% latex2html id marker 1141e_{ij}^m(a)\cdot\left( \begin{a... ...ts & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{array} \right),$$

es decir, si $S=(A,B)$ representa a un sistema de $m$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas, entonces, $e_{ij}^m(a)S=(e_{ij}^m(a)A,e_{ij}^m(a)B)$ representa al sistema de ecuaciones lineales que resulta de sumar a la $i$-ésima ecuación de $S$ $a$-veces la $j$-ésima ecuación.

Podemos ver entonces que nuestra creencia para resolver un sistema de $2$ ecuaciones lineales en $2$ incógnitas está sustentado en el siguiente Teorema.

Teorema 1   Si $S=(A,B)$ es un sistema de $m$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas:

$$% latex2html id marker 1170S=\left\{ \begin{split} a_{11}x... ...\vdots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n &= b_m \end{split}\right.$$

para toda $a\in \mathbb{R}$ el conjunto de soluciones de $S$ es igual al conjunto de soluciones del sistema $e_{ij}^m(a)S=(e_{ij}^m(a)A,e_{ij}^m(a)B)$:

$$% latex2html id marker 1178e_{ij}^m(a)S= \left\{ \begin{ar... ...}x_1 & + & \dots & + & a_{mn}x_n & = &b_m \end{array} \right.$$

La prueba de este Teorema se sigue inmediatamente del siguiente Lema.

Lema 2   Se tienen las siguientes igualdades de matrices:

1. $e_{ij}^m(a)e_{ij}^m(b) = e_{ij}^m(a+b)$
2. $e_{ij}^m(0)A=A$ para toda matriz $A$ de $m\times n$.

El método con el que encontramos las soluciones de un sistema de $2$ ecuaciones lineales en $2$ incógnitas se generaliza al siguiente Teorema.

Teorema 3   Existe un algoritmo que a un sistema de $m$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas:

$$% latex2html id marker 1198 S=(A,B)=\left\{\begin{split}a_{11}... ...m{..}\vdots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n &= b_m\end{split}\right.$$ (4)

con $A$ una matriz no cero, asocia un sistema de la forma

$$% latex2html id marker 1202 \left\{\begin{split}a'_{1j_1}x_{j_... ...{r+1}\\ &\phantom{..}\vdots\\ 0 &= b'_{m}\\ \end{split}\right.$$ (5)

con el mismo conjunto de soluciones y donde $a'_{kj_k}\neq 0$ si $1\leq k\leq r$.