Relaciones

Definición 1   Si $A$ y $B$ son conjuntos, una relación $R$ entre $A$ y $B$ es un subconjunto del producto cruz $A\times B$, $R\subseteq A\times B$.

Si $(a,b)\in R$ denotamos $aRb$ y decimos que $a$ está $R$-relacionado con $b$.

Ejemplos.

1. Relación vacía. Si $A$ y $B$ son cualesquiera dos conjuntos, el conjunto vacío es un subconjunto de $A\times B$ al que llamamos la relación vacía entre $A$ y $B$.

2. Relación total. Si $A$ y $B$ son cualesquiera dos conjuntos, $A\times B$ es un subconjunto del producto cruz $A\times B$ al que llamamos la relación total entre $A$ y $B$.

3. Relación identidad. Si $A$ es un conjunto cualquiera, definimos la relación identidad o diagonal de $A$ como la siguiente relación entre $A$ y $A$:
   $$\mathrm{id}_A:=\{(a,a)\in A\times A\mid a\in A\}.$$

4. Relación de pertenencia. Si $A$ es un conjunto, la pertenencia de los elementos de $A$ en los subconjuntos de $A$ puede verse como una relación entre $A$ y $\P (A)$ a la que llamamos relación de pertenencia y que está definida como:
   $$\in_A :=\{(x,X)\in A\times \P (A)\mid x\;$$es un elemento de$$\; X\}.$$

   Si $x$ es un elemento de $A$ y $X$ es un subconjunto de $A$ denotamos entonces $x\in_A X$ o como es usual $x\in X$ si $(x,X)\in \in_A$, es decir, si $x$ es un elemento de $X$.

5. Relación de contención. Si $A$ es un conjunto, la contención entre los subconjuntos de $A$ puede verse como una relación entre $\P (A)$ y $\P (A)$ a la que llamamos relación de contención y definimos como:
   $$\subseteq _A :=\{(X,Y)\subseteq \P (A)\times\P (A)\mid X \;$$es un subconjunto de$$\; Y \}.$$

   Si $X$ y $Y$ son dos subconjuntos de $A$, denotamos entonces $X\subseteq _A Y$ o como es usual $X\subseteq Y$ si $(X,Y)\in\subseteq _A$, es decir, si todo elemento de $X$ es un elemento de $Y$.

6. Orden en $\mathbb{N}$. El orden en los números naturales puede verse como una relación entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}$ a la que denotamos con el símbolo $\leq$. Entonces,
   $$\leq := \{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid n \;$$es menor o igual a$$\; m\}.$$

   Si $n$ y $m$ son números naturales, denotamos entonces $n\leq m$ si $(n,m)\in\leq$, es decir, si $n$ es menor o igual a $m$.

7. Divisibilidad en $\mathbb{N}$. Si $n$ y $m$ son números naturales, decimos que $n$ divide a $m$ si existe otro número natural $x$ tal que $m=nx$. Definimos entonces la relación de divisibilidad en $\mathbb{N}$ como
   $$\mid:=\{(n,m)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid n \;$$divide a$$\; m\}.$$

   Si $n$ y $m$ son números naturales, denotamos entonces $n\mid m$ si $(n,m)\in\mid$, es decir, si $n$ divide a $m$.