Algunas propiedades del Conjunto Potencia

Recuerda que si $A$ es un conjunto, la colección que tiene por elementos a los subconjuntos de $A$ es un conjunto al que denotamos $\mathcal{P}(A)$ y llamamos el conjunto potencia de $A$. Por ejemplo,

1. $\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}$
2. $\mathcal{P}(\{a\})=\{\emptyset, \{a\}\}$
3. $\mathcal{P}(\{a,b\})=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\}\}$

Nota que el conjunto potencia de un conjunto $A$ siempre tiene como elementos al conjunto vacío $\emptyset$ y a $A$ mismo. En particular, $\mathcal{P}(A)$ siempre es diferente del vacío.

Teorema 7   Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Si $A\subseteq B$ entonces $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$

Teorema 8   Si $A$ es un conjunto, el conjunto potencia de $A$ es un conjunto de conjuntos y el conjunto unión del conjunto potencia de $A$ es igual a $A$, es decir, $\bigcup \mathcal{P}(A)=A$.