Grupoide fundamental y teorema de van Kampen

Me imagino que todos conocen el grupo fundamental y el teorema de van Kampen que permite calcularlo en muchos casos. Empezaremos el curso repasando eso en una forma un poco más general: el grupoide fundamental.

El grupoide fundamental de un espacio topológico \(X\) es una categoría cuyos objetos son los puntos de \(X\) y donde los morfismos de \(x \in X\) a \(y \in Y\) son las clases de homotopía relativa a los extremos de trayectorias que van de \(x\) a \(y\). La composición de morfismos está dada por la concatenación de trayectorias. Esta categoría es un grupoide, que por definición es simplemente una categoría donde todos los morfismos son invertibles.

Probar que tenemos realmente una categoría y que es grupoide, es decir, que la composición está bien definida, es asociativa y tiene identidades, y que todos los morfismos son invertibles, es casi exactamente igual que probar que el grupo fundamental realmente es un grupo. Un excelente ejercicio, si conocen la prueba de que el grupo fundamental es realmente un grupo, es imitarla para probar que el grupoide fundamental es realmente un grupoide.

El primer resultado importante para el grupoide fundamental es el teorema de van Kampen. De nuevo, probarlo es casi igual que probar la versión para el grupo fundamental, pero la versión para el grupoide fundamental es más poderosa. Por ejemplo, no se puede probar con la versión para el grupo fundamental del teorema de van Kampen que \(\pi_{1}(S^{1}) \cong \mathbb{Z}\), pero sí con la versión para el grupoide fundamental.

Aquí hay unas notas de clase sobre el teorema de van Kampen para el grupoide fundamental ¹, que incluyen la fabulosa prueba de Ronnie Brown del teorema de la curva de Jordan. El primer objetivo del curso es entender esas notas.