La evaluación se realizará a partir tareas redactadas en LaTeX y exámenes.
Bibliografía
Probability: a graduate course, A. Gut, Springer, 2013 (Disponible a través del catalogo LibrUNAM )
Probability essentials, J. Jacod y P. Protter, Springer, 2003
Probability: theory and examples, R. Durrett, Cambridge University Press, 2010 (Disponible a través del catalogo LibrUNAM )
Bitácora
Capítulo 1, Elementos de Probabilidad y de Teoría de la Medida
4 de Agosto
Información general del curso
Motivación del concepto de probabilidad
Límites de sucesiones de eventos
sigma-aditividad como aditividad + continuidad
6 de Agosto
sigma-aditividad como aditividad + continuidad
Pi-sistemas, lambda-sistemas y clases monótonas
Sigma-álgebra generada, de Borel
Variables aleatorias
Interpretación frecuentista de la probabilidad condicional
Independencia
Tarea: Del libro de Gut, probar Teorema 2.1.9, 2.1.10,2.1.12, resolver los ejercicios 1.2.5c, 1.6.2, 1.6.6, 1.6.9, 1.6.10, 1.6.11, 1.6.12. Del libro de Jacod Protter: resolver el ejercicio 3.3.6 (sobre pruebas médicas)
8 de Agosto
Sigma-álgebra generada por una variable aleatoria
Lemas de clases monótonas y de clases de Dynkin
Aplicaciones del lema de clases de Dynkin
11 de Agosto
Demostración del lema de clases monótonas
Sigma-álgebra de eventos remotos asociada a una sucesión de eventos
Ley 0-1 de Kolmogorov
13 de Agosto
El lema de Borel-Cantelli como extensión y precisión de la ley 0-1 de Kolmogorov
Aplicaciones del lema de Borel-Cantelli (infinite monkey theorem, muestreando una sucesión; iid)
15 de Agosto
Equivalencia entre la construcción de un espacio de probabilidad para una sucesión de volados y el problema de existencia de la medida de Lebesgue
Problema asociado sobre Borel-Cantelli
18 de Agosto
Teorema de extensión de Carathéodory
Tarea 2: de Jacod-Protter
3.7 (Continuidad de probabilidad condicional)
3.11 (Urnas de Polya)
3.12 (Urnas de Polya 2)
3.13 (Urnas de Polya 3)
10.6 (Cálculos con 2 variables independientes)
10.7 (Mínimo de dos variables geométricas independientes)
10.10 (Variables independientes asociadas a números primos)
10.16 (Borel-Cantelli)
10.17 (Construcción de variables independientes en términos de otras)
10.18 (Suma de dos variables independientes)
20 de Agosto
Funciones de distribución de variables aleatorias reales y sus propiedades
Construcción del espacio de probabilidad asociado a una función de distribución
Encontramos un error en el libro de Jacod-Protter: en la p. 41, prueba de sigma aditividad
22 de Agosto
Corrección a la prueba de sigma-aditividad y construcción de medidas asociadas a funciones de distribución
Construcción de variables aleatorias con distribuciones arbitrarias a partir de variables uniformes
Pérdida de memoria y la distribución exponencial
Sucesiones infinitas de volados
Ejercicios a entregar de la tarea 2: (el número de la primera fila es su número en la lista oficial )
1
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2
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3
5
8
2
9
3
4
7
1
10
1
7
6
2
25 de Agosto
Capítulo de medibilidad de Jacod y Protter
Variables aleatorias discretas y absolutamente continuas
Distribuciones geométrica y binomial negativa
Distribuciones binomial y Poisson
27 de Agosto
Funciones de densidad y ejemplos de distribuciones absolutamente continuas
Vectores aleatorios y sus distribuciones
Construcción de variables uniformes independientes
Tarea 3
Problema 1 del examen general de Probabilidad Agosto del 2012
(Distribuciones conjuntas)
Inciso 1
Problema 1 del examen general de Probabilidad Agosto del 2012
(Distribuciones conjuntas)
Inciso 2
Problema 2 del examen general de Probabilidad Agosto del 2012
(Continuidad y singularidad de sumas de variables independientes)
Problema 1 del examen general de Probabilidad Julio del 2013
(Independencia de colecciones infinitas de sigma álgebras)
Problema 2 del examen general de Probabilidad Julio del 2013
(Truncamiento de variables aleatorias)
Jacod-Protter 11.2
JP 11.3
JP 11.5
JP 11.6
JP 11.12
Pruebe que los eventos \(A_1,A_2,\ldots\) son independientes si y sólo si para toda \(n\geq 1\), \(A_{n+1}\) es independiente de \(\sigma (A_1,\ldots, A_n)\).
29 de Agosto
Método de Box-Muller para simular variables gaussianas
Ejercicios para la tarea 3:
1
2
3
4
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4
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7
7
7
3
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6
2
5
5
Capítulo 2, Esperanza y esperanza condicional
1 de Septiembre
Variables aleatorias simples y su esperanza
Definición general de esperanza
El lema básico de aproximación y su utilización para el cálculo de la esperanza
3 de Septiembre
Propiedades de la esperanza : linealidad, positividad, monotonia
Teorema de convergencia monótona, Lema de Fatou y Teorema de convergencia dominada
5 de Septiembre
Fórmula de cambio de variable
El espacio \( \mathcal{L}_2\) y la desigualdad de Cauchy-Schwarz
Desigualdades de Markov y Chebyshev
Ley débil de los grandes números para variables iid cuadrado integrables
El teorema de aproximación polinomial de Weierstrass
8 de Septiembre
Las variables acotadas están determinadas por sus momentos
La transformada de Laplace de una variable no-negativa determina su distribución
El método de momentos para convergencia débil de variables aleatorias
10 de Septiembre
Primer examen parcial
12 de Septiembre
La aproximación de Stirling \( n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\)
Su demostración a partir del método de Laplace
El teorema de de Moivre y Laplace para la caminata aleatoria simple y simétrica
21 de Septiembre
El teorema límite central para la caminata aleatoria simple y simétrica
Ley 0-1 de Kolmogorov e imposibilidad de convergencia en probabilidad en el teorema límite central
Convergencia débil de variables aleatorias
Equivalencia de convergencia débil con convergencia de funciones de distribución
Tarea 4
Gut: verificar las entradas de la tabla 2.3 p 62
Gut: verificar las entradas de la tabla 2.4 p 63
Durrett: 1.3.6 (Medibilidad del conjunto de discontinuidades)
Durrett: 1.3. 9 (va medibles respecto de \(σ (X)\))
JP 9.4 (Extensiones de convergencia dominada)
JP 9.5 (Construcción de nuevas medidas de probabilidad)
JP 9.6 (Idem)
JP 9.7 (Idem)
JP 17.4 (Convergencia cs en promedios de vaiid)
JP 17.5 (Desigualdades casi seguras)
JP 17.10 (Convergencia en \( L_2 \) y en probabilidad)
24 de Septiembre
Convergencia de esperanzas de funciones suaves de una variable aleatoria
Ejemplos elementales de convergencia débil
Lema de Scheffé
26 de Septiembre
Ejercicios a entregar de la Tarea 4:
1
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3
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5
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2
2
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8
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9
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10
Regla importante: para los archivos que les toca redactar: crear un archivo llamado t4e10.tex (si les toca el ejercicio 10 de la tarea 4) s\'olo con la redacción del ejercicio y con \begin{ejercicio} \end{ejercicio} y llamarlo dentro de su documento .tex con la solución
Teorema de Slutsky
Teorema de Selección de Helly
29 de Septiembre
Completez de los espacios \( L_p \)
Ejercicios sobre modos de convergencia
1 de Octubre
Teorema de Fubini
Definición y primeros ejemplos de funciones características
Tarea 5
Libro Problems in Probability de Shiryaev: 2.6.6 (independencia y esperanzas de productos). Note que no se hacen supuestos sobre pertenencia a \(L_2\)
Problema 2.6.13: Teorema de Fubini para medidas de contéo. Agreguen el enunciado del teorema de Fubini que decidan utilizar.
Problema 2.6.15: Teorema de cambio de variables
Problema 2.6.18 (Continuidad absoluta)
Pruebe que si \(X\) es una variable aleatoria no-negativa, \(F\) es su función de distribución y \(\overline F(x)=1-F(x)\) es la cola de la distribución entonces \(\mathbb{E} (X^p)=\int_0^\infty py^{p-1} \overline F(y)\, dy \). Sugerencia: utilice la fórmula de cambio de variable y escriba \(x^p=\int_0^x yp^{y-1}\).
Problema 2.6.23 (Momentos y funciones de distribución)
Problema 2.6.24 (Idem)
Problema 2.6.53 (Idem)
Problema 2.6.30 (Momentos y funciones generadoras)
Problema 2.6.60 (Integral de Riemann y de Lebesgue)
Problema 2.10.59 (Convergencia en \(L_p\) de variables gaussianas)
Suponga que \(X_n\stackrel{d}{\to} X\) y que \(\sup_n\mathbb{E} (X_n^{p'})<\infty\) para alguna \(p'>1\). Pruebe que si \(p\in [0,p')\) entonces \(\mathbb{E}(|X_n|^p)\to \mathbb{E}|X|^p)\)
La función característica de la distribución gaussiana
8 de Octubre
Densidad de la suma de dos variables independientes cuando una de ellas es absolutamente continua
Identidad de Parseval para funciones de distribución y funciones características
Inyectividad del mapeo de distribuciones a funciones características
Teorema de continuidad de Lévy
Fórmula de inversión de Fourier
Relación entre momentos y diferenciabilidad de funciones características
Tarea 6:
Calcule la función característica asociada a la densidad triangular: \(1-|x|\) para \(x\in (-1,1) \). Utilice la fórmula de inversión de Fourier para encontrar una función de distribución cuya función característica es un múltiplo de la densidad trianguar y por tanto es de soporte compacto.
Shiryaev: 2.12.7 (funciones características y falla en cancelación)
2.12.17
2.12.19 (El método de momentos)
2.12.33 (Funciones características suaves sin momentos de primer orden)
Gut: 5.14.1 (Mínimo de variables exponenciales)
5.14.6 (Convergencia débil de variables gaussianas)
5.14.9 (Convergencia débil de variables absolutamente continuas a discretas y viceversa)
5.14.10 (Oscilaciones y convergencia casi segura)
Durrett: 3.2.2 (Máximos de variables iid)
Ejercicios a entregar:
1
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5
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5
4
10
1
7
3
9
7
1
10 de Octubre
Identidad de Plancherel
Ley débil de los grandes números
Desarrollo en serie de la función característica y distribuciones determinadas por sus momentos
El método de momentos
13 de Octubre
Participaremos en el Seminario del Departamento de Probabilidad y Estadística del IIMAS.
15 de Octubre
Fecha de la segunda evaluación: Viernes 24 de Octubre
Funciones características y variables con valores en \( b+h\mathbb{Z}\)
Lema de Riemann-Lebesgue
El teorema límite central
Versión local del teorema límite central
17 de Octubre
Estimaciones asintóticas de momentos de caminatas aleatorias
20 de Octubre
El teorema límite central mediante el método de momentos
La ley fuerte de los grandes números con cuarto momento finito
22 de Octubre
Complementos sobre convergencia débil y el teorema límite central
Prueba de la ley débil de los grandes números por truncamiento
24 de Octubre
Segunda evaluación
27 de Octubre
Prueba de Etemadi de la ley fuerte de los grandes números