Lara Bossinger

Descripción del curso

martes 12:00 - 13:30, miércoles 13:00 - 14:30 y jueves 12:00 - 13:30 del 29 de enero hasta el 23 de mayo 2024

Objetivo general: Presentar al alumno los fundamentos y conceptos básicos del Álgebra Conmutativa.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con la teoría básica de anillos y nódulos para el estudio de las variedades algebraicas.

Temario

Variedades afines
1. Conjuntos algebraicos
2. Topología de Zariski
3. Componentes irreducibles
4. Dimensión de Krull
Morfismos
1. Funciones regulares
2. Campo de funciones
3. Morfismos
4. Antiequivalencia variedades afines - dominios finitamente generados sobre un campo
Localización
1. Fracciones
2. Producto tensorial
3. Anillos y modulos de longitud finita
Descomposición primaria
1. Primos asociados
2. Descomposición primaria
3. Interpretación geométrica
Dependencia Integral
1. Teorema de Cayley-Hamilton y Lema de Nakayama
2. Dominios normales
3. Primos en extensiones enteras
4. Teorema de ceros de Hilbert (Nullstellensatz)
Lema de Artin-Rees
1. Anillos y módulos graduados asociados
2. El álgebra de la explosión (blow up)
3. Teorema de intersaección de Krull
Módulos planos
1. El functor Tor y la caracterización de módulos planos
Completaciones
1. Propiedades básicas
2. Lema de Hensel
3. Teoría de Cohen (sin demo)
Teoría de dimensión (sin demo)
1. Axiomas, anillos afines y normalización de Noether
2. Sistemas de parámetros y teorema de ideales principales de Krull
3. Polinomios de Hilbert

Bibliografía

Eisenbud, D. Commutative Algebra, Springer, 1995
Hartshorne, R. Algebraic Geometry, Springer, New York, 1977.
Matsumura, H. Commutative Algebra, Benjamin, 1970
Michalek, M. Primary Decomposition IMPRS Ringvorlesung Introduction to Nonlinear Algebra, 2018, Link

Calendario

Mar 30/01/2024: El Teorema de la base de Hilbert (Eisenbud 1.4) y Anillos graduados (Eisenbud 1.5, p.30)
Mie 31/01/2024: Álgebra y Geometría - el Nullstellensatz de Hilbert (Eisenbud 1.6 hasta Corolario 1.9 y su prueba), video
Jue 01/02/2024: Funcion y polinomio de Hilbert (Eisenbud 1.9)

Mar 06/02/2024: Fracciones y Localización (Eisenbud 2.1), video
Mie 07/02/2024: Hom y Tensor (Eisenbud 2.2 hasta p.64)
Jue 08/02/2024: Localización como Tensor (Eisenbud 2.2 hasta Prop.2.10, Tarea: leer y entender la prueba de Prop.2.10) (Fecha de entrega de la Tarea 1)

Mar 13/02/2024: Modulos de longitud finita (Eisenbud 2.4 hasta la prueba del Teorema 2.13)
Mie 14/02/2024: Anillos Artinianos y sus ideales primos (Eisenbud 2.4, p.75-78)
Jue 15/02/2024: Discusión de la Tarea 1 (Fecha de entrega de la Tarea 2)

Mar 20/02/2024: Ideales primos asociados (Eisenbud 3.1 y 3.2), video
Mie 21/02/2024: Descomposición primaria (Eisenbud 3.3)
Jue 22/02/2024: Discusión de la Tarea 2

Mar 27/02/2024: Lectura Eisenbud 3.4-3.8
Mie 28/02/2024: Lectura Eisenbud 3.4-3.8
Jue 29/02/2024: Lectura Eisenbud 3.4-3.8 (Fecha de entrega de la Tarea 3)

Mar 05/03/2024: El Teorema de Cayley-Hamilton (Eisenbud 4.1), video
Mie 06/03/2024: El Lema de Nakayama (Eisenbud 4.1)
Jue 07/03/2024: Discusión de la Tarea 3 y interpretación geométrica de la descomposición primaria (Eisenbud 3.8)

Mar 12/03/2024: Normalización (Eisenbud 4.2) y ideales primos en extensiones integrales (Eisenbud 4.4 hasta Lema 4.16)
Mie 13/03/2024: Examen parcial
Jue 14/03/2024: -

Mar 19/03/2024: Extensión integral, anillo de Jacobson, versión general del Nullstellensatz (Eisenbud 4.5)
Mie 20/03/2024: Filtraciones, Lema de Artin-Rees (Eisenbud 5)
Jue 21/03/2024: Discusión del Examen parcial (Fecha de entrega de la Tarea 4)

Mar 26/03/2024: semana santa
Mie 27/03/2024: semana santa
Jue 28/03/2024: semana santa

Mar 02/04/2024: Teorema de intersección de Krull (Eisenbud 5.3)
Mie 03/04/2024: Revisión de álgebra homologica (Eisenbud A.3.2/3/5/7/9)
Jue 04/04/2024: Discusión de la Tarea 4

Mar 09/04/2024: Introducción al functor Tor y criterios para modulos planos (Eisenbud 6.2 y 6.3)
Mie 10/04/2024: Criterios para modulos planos (Eisenbud 6.3), video
Jue 11/04/2024: Criterios locales para modulos planos (Eisenbud 6.4)(Fecha de entrega de la Tarea 5)

Mar 16/04/2024:
Mie 17/04/2024:
Jue 18/04/2024: Discusión de la Tarea 5 (Fecha de entrega de la Tarea 6)

Mar 23/04/2024:
Mie 24/04/2024:
Jue 25/04/2024: Discusión de la Tarea 6 (Fecha de entrega de la Tarea 7)

Mar 30/04/2024:
Mie 01/05/2024: feriado
Jue 02/05/2024: Discusión de la Tarea 7 (Fecha de entrega de la Tarea 8)

Mar 07/05/2024:
Mie 08/05/2024:
Jue 09/05/2024: Discusión de la Tarea 8

Mar 14/05/2024:
Mie 15/05/2024: feriado
Jue 16/05/2024:

Mar 21/05/2024:
Mie 22/05/2024: Examen final
Jue 23/05/2024: Discusión del Examen final

Tareas

Las tareas 1-8 se tienen que entregar por escrito (formato PDF) por correo electrónico hasta las 12:00 (medio día) del día de la entrega

Tarea 0: leer Eisenbud capítulos 1.1, 1.2, 1.3 (y 0.1, 0.2, 0.3 si necesario)
Tarea 1: Ejercicios 1.18, 1.19, 1.24 Eisenbud, entrega 08/02/2024
Tarea 2: leer Eisenbud p.65 y prueba de la Proposición 2.10 (p.68/69), Ejercicios 2.1, 2.4 y 2.17 Eisenbud, entrega 15/02/2024
Tarea 3: Ejercicios 3.5 y 3.13 en Eisenbud y Ejercicios 1, 2(a) ,3 aquí, entrega 29/02/2024
Tarea 4: leer Eisenbud 4.3 y Ejercicios 4.5, 4.7 y 4.9 en Eisenbud, entrega 21/03/2024
Tarea 5: leer Eisenbud A3.2, 3.6-8 y Ejercicios A3.10 y A3.20, entrega 11/04/2024
Tarea 6: (se publica el 11/04/2024, entrega 18/04/2024)
Tarea 7: (se publica el 18/04/2024, entrega 25/04/2024)
Tarea 8: (se publica el 25/04/2024, entrega 02/05/2024)

Evaluación

La evaluación del curso depende de los siguentes elementos

Entrega por escrito de las tareas
Presentación de la solución de (parte de) la tarea en clase
Examenes (un examen parcial y un examen final)
Asistencia y participación en las clases

Opcionalmente pueden tomar el examen general de Álgebra Conmutativa que es independiente del curso y su evaluación. Para el examen general es necesario registrarse en forma y tiempo con el formato del posgrado firmado por el tutor. Por favor, verifiquen la fecha limite de registro y la fecha del examen general en la página web del posgrado y en caso de dudas contacten posmat(at)ciencias.unam.mx.