Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
León 2, altos, Oaxaca de Juárez
Centro Histórico
68000 Oaxaca, Mexico.
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Email: lara (at) im.unam.mx
Descripción del curso
Una idea central en geometría algebraica y álgebra conmutativa es la de estudiar
sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables.
Desde el punto de vista computacional, encontrar soluciones explícitas para estos sistemas
puede ser una tarea difícil.
La teoría de las bases de Gröbner ayuda precisamente a encontrar soluciones a estos
sistemas de manera algorítmica.
En vista de la ubicuidad de problemas científicos modelados por ecuaciones polinomiales,
este tema es de interés no solo para los matemáticos pero también para un
número en ascenso de ingenieros y científicos.
Más precisamente, sea J un ideal en el anillo de polinomios k[x
1,...,x
n]
sobre un campo k que es algebraicamente cerrado.
Tomamos un orden total < en los monomios de k[x
1,...,x
n].
Así podemos definir la
forma inicial in
<(f) de un polinomio f
∈k[x
1,...,x
n]: es el monomio máximal con respeto al orden.
El
ideal inicial in
<(J) es el ideal generado por las formas iniciales
de todos los elemento en J.
Una
base de Gröbner para J con respeto a < es un conjunto finito de generadores
de J tales que sus formas iniciales generan al ideal inicial.
Ejemplo: Sea J el ideal generado por x
2 + xy y y
3 + x
2 en k[x,y].
Definimos el orden total: x
ay
b < x
cy
d si y solo si a > c, o a = c y b > d.
Entonces, in
<(x
2 + xy) = x
2 y in
<(y
3 + x
2) = x
2.
Pero el conjunto {x
2 + xy, y
3 + x
2} no es una base de Gröbner, porque la forma inicial
del elemento xy - y
3 = (x
2 + xy) - (y
3 + x
2) ∈ J no se encuentra en el ideal generado por in
<(x
2 + xy)
y in
<(y
3 + x
2).
Una base de Gröber de J con respeto a < es, por ejemplo, {y
3 + x
2, x
2 + xy, xy - y
3}.
En este curso estudiamos las bases de Gröbner y sus aplicaciones en la geometría
tropical con enfoque en los cálculos usando programas como Macaulay2.
Eso necesariamente incluye el estudio de objetos geométricos como los abanicos de Gröbner
que codifican información sobre el ideal y sus bases de Gröbner.
Temario
- Las Bases de Gröbner
- Ideales monomiales:
- Propiedades basicas, capitulo 1.1 en [HH11]
- Operaciones álgebraicas, capitulo 1.2 [HH11]
- Descomposiciones primarias, capitulo 1.3 [HH11]
- Ideales monomiales en Macaulay2 [HS02]
- Ideales monomiales libre de cuadrados y complejos simpliciales capitulo 1.5 [HH11]
- Bases de Gröbner:
- El lema de Dickson y el teorema de la base de Hilbert, capitulo 2.1 [HH11]
- El algoritmo de división, capitulo 2.2 [HH11]
- El criterio de Buchberger, capitulo 2.3 [HH11]
- Computación en Macaulay2
- Ordenes monomiales y vectores de peso:
- Ideales iniciales con respeto a vectores de peso, capitulo 3.1 [HH11]
- Ideales iniciales como fibra especial en una familia plana, capitulo 3.2 [HH11]
La Geometría Poliedral
- Politopos convexos, capitulo 2 [T06]
- Caras de politopos, capitulo 3 [T06]
- Computación en polymake
El abanico de Gröbner
- El politopo de Newton y el abanico de Gröbner, capitulo 1 [S95]
- El politopo de estado de un ideal, capitulo 2 [S95]
- Algoritmos para calcular el abanico de Gröbner y el politopo de estado, capitulo 3 [S95]
La Tropicalización de un ideal
- La aritmetica tropical, capitulo 1.1 [MS15]
- Hipersuperficies tropicales, capitulo 1 [BJSST]
- Tropicalizar un ideal, capitulo 1 [BJSST]
- Problemas algorithmicas y bases tropciales, capitulo 2 [BJSST]
- Transversalidad y conectividad de variedades tropicales, capitulo 3 [BJSST]
- Algoritmos en gfan y Macaulay2, capitulo 4 [BJSST]
Bibliografía
- [BJSST]
T.Bogart, A.N. Jensen, D.Speyer, B.Sturmfels, and R.R. Thomas.
Computing tropical varieties.
J. Symbolic Comput., 42(1-2):54--73, 2007.
- [M2]
Daniel R. Grayson and Michael E. Stillman.
Macaulay2, a software system for research in algebraic geometry.
Available at http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/.
- [HH11]
Jürgen Herzog and Takayuki Hibi.
Monomial ideals, volume 260 of Graduate Texts in
Mathematics.
Springer-Verlag London, Ltd., London, 2011.
- [HS02]
Hosten, Serkan and Smith, Gregory G.
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- [MS15]
Diane Maclagan and Bernd Sturmfels.
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Studies in Mathematics.
American Mathematical Society, Providence, RI, 2015.
- [S95]
Bernd Sturmfels
Gröbner bases and convex polytopes, University Lecture Series,
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.
- [T06]
Rekha R. Thomas.
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Mathematical Library.
American Mathematical Society, Providence, RI;
Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2006.
IAS/Park City Mathematical Subseries.