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Otto Romero Germán, CIMAT - Gto
5:00 pm, 1 de junio: Sobre coamibas de algunas curvas complejas
Dada una curva compleja V en el toro algebraico (C*)^2 podemos estudiar V usando sus argumentos (coamiba) y los módulos (amiba). En esta plática repasaremos estos conceptos y algunas de sus propiedades, dando varios ejemplos con curvas singulares y no singulares.
Principalmente consideraremos la familia de curvas dadas por preimágenes de la familia de polinomios P(z,w)=z^n + w^m con n,m enteros positivos. Veremos que, quitando algunos puntos en las curvas, uno puede tener una descripción combinatoria de la curva a través de sus respectiva coamiba. La monodromía periódica de la singularidad (para n>1, m>1) se traduce en una monodromía en las coamibas.
Última charla del semestre
Claudia Reynoso Alcántara, U de Guanajuato
5:00 pm, 8 de junio: Sobre pinceles de curvas planas con un punto base.
La clasificación de pinceles de curvas planas es un problema clásico y fascinante. Hay muchos trabajos al respecto, donde se ha estudiado desde muchos puntos de vista.
Le idea de la charla es hablar un poco sobre los pinceles que tienen un único punto base; su clasificación, hasta donde sabemos, está lejos de estar terminada. Comentaremos algunos puntos de vista, como GIT, o su estudio a través de la foliación que definen y, por supuesto, su relación con el famoso problema de Poincaré. Finalmente veremos algunos ejemplos, en los que se han hecho cálculos del género de la fibra y el conjunto singular de la foliación que definen, los cuales resultan muy interesantes. Éste es un trabajo en proceso, hecho en conjunto con Alexis Zamora.
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Diosel López, IMUNAM - CdMx
5:00 pm, 11 de mayo: Cohomología motívica de variedades algebraicas singulares
La idea original de cohomología motívica como una teoría de cohomología universal para variedades algebraicas se debe principalmente a A. Grothendieck. Esta debe ser una teoría que juegue el mismo papel en geometría algebraica como la cohomología singular en topología algebraica. En este sentido, inspirado por la cohomología singular, S. Bloch define los grupos de Chow superiores en términos de ciclos algebraicos, los cuales describen completamente a la cohomología motívica en el caso de variedades lisas.
A pesar de que los grupos de Chow superiores están definidos para variedades singulares, estos no conforman una teoría de cohomología, sino una teoría de homología de Borel Moore. Usando el criterio de extensión de funtores de Guillén-Navarro, M. Hanamura extiende la definición de cohomología motívica al caso de variedades singulares, vía hiperresoluciones cúbicas. En esta charla, haremos un bosquejo de la construcción, veremos también su relación con otras teorías de cohomologías absolutas vía reguladores. Al final revisaremos algunos ejemplos explícitos.
5:00 pm, 25 de mayo: Geometry of vertex operator algebras on moduli of curves.
The physically-inspired theory of conformal blocks allows one to construct vector bundles on moduli spaces of curves with remarkable geometric and combinatorial properties. This theory uses as input the representations of some non-commutative algebras. A classical example is provided by the representations of affine Lie algebras, and the resulting vector bundles have been studied at great length in the last thirty years, yielding extraordinary insights on moduli spaces of curves. In this talk, I will present how some fundamental results of the classical theory of conformal blocks extend to the more general setting provided by replacing affine Lie algebras with vertex operator algebras. Specifically, I will discuss an extended factorization property and new cohomological field theories. This is joint work with Chiara Damiolini and Angela Gibney.
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5:00 pm, 20 de abril: The rational Chow rings of M7, M8 and M9 (VIDEO)
The rational Chow ring of the moduli space M g of curves of genus g is known for g up to 6. In each of these cases, the Chow ring is tautological (generated by certain natural classes known as kappa classes). In joint work with Sam Canning, we prove that the rational Chow ring of M_g is tautological for g = 7, 8, 9, thereby determining the Chow rings by earlier work of Faber.
In this talk, I will give an overview of our approach, with particular focus on the locus of tetragonal curves (special curves admitting a degree 4 map to P 1).
Manuel Valdespino, CCM- UNAM
5:00 pm, 27 de abril: Deformaciones de curvas trigonales con invariante de Maroni fijo
La teoría de deformaciones es una herramienta muy útil al realizar un estudio
local de los problemas móduli. Un ejemplo de esto surge al caracterizar el
espacio tangente al espacio móduli de curvas de género g, Mg, en la clase de
una curva C, como Def1(C) = T_Mg,[C] = H^1(C, TC).
Un problema interesante nace al tratar de caracterizar los vectores tangentes
(deformaciones) de una curva C, que a su vez sean tangentes a una subvariedad
X de Mg, es decir, caracterizar al subespacio T_X,[C] < H^1(C, TC).
En esta plática nos enfocaremos en el estudio de espacios tangentes a algunas
subvariedades de Mg, tales como el espacio móduli de curvas trigonales, Tg, así
como sus subvariedades definidas mediante el invariante de Maroni. Para esto
se dará un breve repaso de conceptos como superficies de Hirzebruch, invariante
de Maroni de una curva trigonal, deformaciones de morfismos, entre otros.
La plática tendrá un enfoque panorámico, y se dará una motivación de este
problema mediante el estudio de la aplicación de periodos (morfismo de Torelli).
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Abel Castorena, CCM - UNAM-Morelia.
5:00 pm, 9 marzo: Back to the classics: La demostración de Lazarsfeld del teorema de Petri y lo que hay en el camino. (VIDEO)
En esta charla panorámica se presentará la demostración de un teorema fundamental en la teoría de haces lineales sobre curvas. Esta demostración se debe a Lazarsafeld, quien por medio del estudio de curvas en superficies K3 y haces vectoriales demuestra de una manera muy bonita el teorema de Petri también conocido como teorema de Gieseker-Petri.
Debido a que la demostración contiene partes técnicas, se explicarán solo algunos detalles de la prueba, y si el tiempo lo permite se comentará al final algunos problemas abiertos relacionados con este círculo de ideas.
4:00pm, 30 marzo: Variedades Calabi-Yau en la teoría de cuerdas --un ejemplo. (VIDEO)
Una manifestación de la teoría de cuerdas es la dualidad entre la llamada "teoría eterótica'' (variedad Calabi-Yau de dimensión tres con dos fibrados con grupo estructural E_8) y "teoría F" (variedad Calabi-Yau de dimensión cuatro). Presentaré un ejemplo de esta dualidad, siguiendo la simetría E_8 en el momento del "big bang" que se quebró poco después a la simetría del subgroupo SU(5)xSU(5) y poco después de eso a la simetría del subgroupo SU(3)xSU(2)xU(1)xSU(5)--la simetría del modelo estandard: fuerza fuerte x fuerza débil x fuerza electro-magnética x gravedad.
La geometría del ejemplo se deriva del grupo de Weyl asociado al algebra de Lie su(5). (Trabajo junto con el físico Stuart Raby.)
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5:00pm , 23 febrero: (-1)-curves in Pr. (VIDEO)
We will review some ways to generalize (-1)-curves on surfaces to higher dimensions, and also review the Coxeter Group theory that applies to standard Cremona transformations based at points, and how the Weyl group is represented in the Chow ring. The goal is to better understand criteria for when a general (-1)- curve is a Cremona image of a line, and to apply these ideas to the Mori Dream Space cases of P r blown up at points. This is joint work with Olivia Dumitrescu from UNC-Chapel Hill.
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Miguel Prado, Boston College.
4:00pm, 1 diciembre: Diferenciales abelianas y teoría de intersección en curvas racionales.
Veremos como contar cuántas diferenciales abelianas sobre P1 con un único cero y varios polos existen si fijamos los órdenes y los residuos de los polos. Este problema fue planteado por Gendron y Tahar quienes solucionaron varios casos usando geometría plana. En la charla replicaremos y expandiremos sus resultados utilizando teoría de intersección en curvas racionales estables con puntos marcados.
Última charla del semestre
4:00 pm, 8 diciembre: The cohomology of a general tensor product of stable bundles on the plane.
In this talk, I will explain how to compute the cohomology of the tensor product of two general stable bundles on the plane.
Let V and W be two stable bundles general in their moduli. Assume that the numerical invariants of W are sufficiently divisible. Using recent advances in the Minimal Model Program for moduli spaces, we completely compute the cohomology of the tensor product of V and W. In particular, when W is exceptional, we show that the tensor product of V and W has at most one nonzero cohomology group, generalizing foundational results of Drézet, Göttsche and Hirschowitz. We also characterize when the tensor product of V and W is globally generated. This is joint work with Jack Huizenga and John Kopper.
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Charla panorámica
1:00pm , 10 noviembre: Enumeration in geometry. (VIDEO)
Enumeration of geometric objects verifying some specific properties is an old and venerable subject. In this talk I will start by briefly reviewing some of its history and problems. In the last decades, enumerative geometry saw the flourishing of new problems and underwent a tremendous change of perspective and a spectacular progress, with the introduction of extremely refined new mathematical ideas and tools which launched unexpected bridges between different parts of mathematics. This has been due also, sometimes mainly, to the input of questions coming from physics. New insights have also been provided by discretization methods in algebraic geometry introduced by the so--called tropical mathematics, which, by the way, has quite interesting applications in phylogenetics. Being impossible to present all this material in a one hour talk, I will limit myself to give general information on some aspects of these topics, the ones which are closer to my own research and (limited) knowledge.
4:00 pm, 17 noviembre: Enumerating equations equivariantly. (VIDEO)
Given a hypersurface, can we find a method of determining how many times it arises (up to projective isomorphism) in families of hypersurfaces? This general question has irritated me and my collaborators (A. Deopurkar, M. Lee, H. Spink, D. Tseng) for some time, and in this talk I will sketch our current, infinitesimal progress.
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4:00pm, 13 octubre: Some problems concerning curves in projective three space. (Notes)
I will discuss some open problems concerning curves, together with examples, and ideas about how to study the problems.
Montserrat Vite Escobedo, UNAM-Oaxaca.
4:00 pm, 27 octubre: Algunas familias de curvas en el espacio proyectivo y su geometría birracional.
La geometría de los esquemas de Hilbert y, en particular, las familias de curvas en el espacio proyectivo puede tener comportamientos patológicos. Debido a esto, a pesar de ser ampliamente estudiadas, no existen teoremas generales que analicen su geometría birracional. Sin embargo analizar la geometría birracional de estas familias en casos particulares es un tema de interés actual.
Esta charla reportará investigación sobre la geometría de algunas familias de curvas en el espacio proyectivo; especialmente sobre la familia de curvas de grado 6 y género 3. La motivación para estudiar esta familia nace de la teoría de enlaces. Discutiremos brevemente, algunos aspectos de esta teoría y su posible relación con la geometría birracional.
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Leticia Brambila Paz, CIMAT-Gto.
4:00pm, 1 septiembre: El haz de Picard generalizado. (VIDEO)
En esta plática presentaré unos de los resultados que, junto con Indranil Biswas y Peter Newstead, demostramos sobre la estabilidad, deformaciones y el espacio móduli del haz de Picard generalizado --llamado también la transformada de Fourier-Mukai.
Juan Vásquez Aquino, CIMAT-Gto.
4:00 pm, 15 septiembre: Cohomología del cociente GIT de cuárticas planas. (VIDEO)
En esta charla presentaré las técnicas de Kirwan para calcular la cohomología racional de cocientes GIT, los cuales consisten en cálculos de cohomología racional equivariante de diversos estratos así como la cohomología de una desingularización parcial del cociente en caso de ser singular. Presentaré los resultados obtenidos para el cociente GIT de cuárticas planas.
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4:00pm, 18 agosto: La conjetura del rango maximal y la dimensión de Kodaira de los espacios de módulos de curvas. (VIDEO)
Los geómetras clásicos estudiaron espacios de módulos de curvas de géneros bajos que son racionales y pensaban que lo mismo debía ser cierto para todos los géneros. Harris, Mumford y Eisenbud demostraron a inicios de los años 80 que para género al menos 23, los espacios de módulos de curvas están tan lejos como es posible de ser racionales. Durante mucho tiempo se pensó que 23 era el numero mágico separando el tipo de comportamiento de espacios de módulos. Resultados recientes demuestran que los géneros 21 y 22 también tienen dimensión de Kodaira maximal. La demostración de esto utiliza divisores del espacio de módulos definidos de forma geométrica en términos de las aplicaciones de las curvas en un espacio proyectivo.
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4:00pm, 2 junio: The rank of syzygies of canonical curves. (VIDEO)
The classical work of Petri tells us that a canonical curve is an intersection of quadrics (with some exceptions) and, moreover, the theorem of Max Noether tells us how many such quadrics are needed to generate the ideal of the curve. It is natural to ask what one can say about these quadrics, and, indeed, in important work by Andreotti-Mayer in the 60s and Green in the 80s, it is established that the ideal is always generated by quadrics of rank four. Following Green's philosophy that one should generalize the classical work on the ideal of a projective variety to a study of the minimal free resolution of the ideal, we will show how to define a notion of rank for any linear syzygy. We then generalize Andreotti-Mayer-Green's result by proving that all linear syzygy spaces of a canonical curve are spanned by syzygies of the minimal possible rank.
3:00 pm, 16 junio: Fullness of exceptional collections via stability conditions - A case of study: the quadric threefold. (VIDEO)
A powerful tool of investigation of Fano varieties is provided by exceptional collections in their derived categories. In general, proving the fullness of such a collection is a hard problem, often done on a case-by-case basis, with the aid of a deep understanding of the underlying geometry. Likewise, when an exceptional collection is not full, it is not straightforward to determine whether its residual category is the derived category of a variety.
Taking after Bondal and Orlov, we examine two cases: the case of quadric hypersurfaces in P n+1 and the case of the index 2 Fano threefold Y (the generic intersection of two quadrics in P 5. In the first case, we prove that the classical result by Kapranov on the fullness of the standard exceptions is equivalent to the existence of a numerical stability condition on the residual category of the exceptional collection of the quadric. In the second case, we show how the same technique recovers the equivalence of the residual category of the exceptional collection {O Y,O Y(1)} with the derived category of a genus 2 curve. This is joint work with Domenico Fiorenza.
Última charla del semestre
4:00 pm: 30 de junio, Puntos de torsión sobre curvas hiperelípticas y ecuación de Pell-Abel
Las curvas hiperelípticas son recubrimientos ramificados de grado dos de la recta proyectiva. En el complemento de los puntos de ramificaciones, la preimagen de un punto consta de dos puntos distintos que se nombran p y q. La diferencia p-q es de r-torsión si existe una función que tiene un cero de orden r en p y un polo de orden r en q (y no otras singularidades).
La búsqueda de curvas hiperelípticas definidas sobre los racionales con puntos de r-torsión es un problema de importancia que todavía no se ha resuelto en general, y el objetivo de la charla es el resolverlo sobre números complejos (y de hecho reales). Mas precisamente, se mostrará que este problema es equivalente a resolver la ecuación de Pell-Abel y esto permitirá caracterizar los enteros r tales que existe una curva hiperelíptica definida sobre los complejos con puntos de r-torsión. El resultado obtenido permite formularnos nuevas preguntas respecto a este problema sobre los racionales. Esta charla se basará principalmente en el articulo arXiv:2010.09915.
Charla panorámica
4:00pm, 5 mayo: K3 curves: results and problems. (VIDEO)
I will give an overview of some of the results known about K3 curves, i.e. those curves that can be realized as a hyperplane sections of a K3 surface. I will focus on those results which involve the so-called Wahl map, from the nowadays classical work of Wahl and Beauville-Merindol, up to the most recent work on the subject by several authors.
4:00 pm, 12 mayo: Cayley-Bacharach theorems and measures of irrationality. (VIDEO)
If Z is a set of points in projective space, we can ask which polynomials of degree d vanish at every point in Z. If P is one point of Z, the vanishing of a polynomial at P imposes one linear condition on the coefficients. Thus, the vanishing of a polynomial on all of Z imposes |Z| linear conditions on the coefficients. A classical question in algebraic geometry, dating back to at least the 4th century, is how many of those linear conditions are independent? For instance, if we look at the space of lines through three collinear points in the plane, the unique line through two of the points is exactly the one through all three; i.e. the conditions imposed by any two of the points imply those of the third.
In this talk, I will survey several classical results including the original Cayley-Bacharach Theorem and Castelnuovo's Lemma about points on rational curves. I'll then describe some recent results and conjectures about points satisfying the so-called Cayley-Bacharach condition and show how they connect to several seemingly unrelated questions in contemporary algebraic geometry relating to the gonality of curves and measures of irrationality of higher dimensional varieties.
4:00 pm: 26 de mayo,
Cancelada.
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4:00pm, 14 abril: The Geometry of Hilbert's 13th Problem.
The goal of this talk is to explain how enumerative geometry can be used to simplify the solution of polynomials in one variable. Given a polynomial in one variable, what is the simplest formula for the roots in terms of the coefficients? Hilbert conjectured that for polynomials of degree 6,7 and 8, any formula must involve functions of at least 2, 3 and 4 variables respectively (such formulas were first constructed by Hamilton). In a little-known paper, Hilbert sketched how the 27 lines on a cubic surface should give a 4-variable solution of the general degree 9 polynomial. In this talk I'll recall Klein and Hilbert's geometric reformulation of solving polynomials, explain the gaps in Hilbert's sketch and how we can fill these using modern methods. As a result, we obtain best-to-date upper bounds on the number ofvariables needed to solve a general degree n polynomial for all n, improving results of Segre and Brauer.
Leonardo Roa, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
4:00 pm, 21 abril: Haces vectoriales de rango 2 sobre superficies. (VIDEO)
El espacio moduli de haces vectoriales Mumford-Takemoto estables de rango 2 sobre superficies fue construido por M. Maruyama en 1975. Desde entonces, estos espacios móduli han sido estudiados desde diferentes puntos de vista por sus conexiones con diferentes áreas de matemáticas, en particular geometría simpléctica y diferencial, topología, física, entre otras. Varias preguntas relacionadas con no vacuidad, irreducibilidad, conexidad, etc, no tienen una respuesta general.
En esta charla, consideraremos una fibración f: X--> sobre una curva C y un haz lineal amplio H sobre la superficie X. Demostraremos que el pullback, bajo f, de un haz vectorial estable de rango 2 sobre la curva es H-estable. Este resultado permite determinar propiedades geométricas del espacio moduli de haces vectoriales sobre la superficie y relacionar el espacio moduli de haces sobre la curva con el moduli de haces sobre la superficie. También demostraremos propiedades del locus de Brill-Noether sobre la superficie y presentamos una generalización del Teorema de Clifford de haces sobre curvas a haces vectoriales de rango 2 sobre superficies. Este trabajo es en conjunto con Graciela Reyes-Ahumada y Hugo Torres-López.
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4:00pm, 3 marzo: Geometría birracional via resoluciones.
La resolución minimal de una gavilla F en el plano proyectivo es un complejo cuyos factores son sumas de haces lineales. Por otro lado, condiciones de estabilidad de Bridgeland dictan una resolución para F cuyos factores son haces vectoriales no triviales de rango alto.
En esta charla reportaremos investigación sobre la relación entre estas dos resoluciones. El diccionario que existe entre ellas describe el cono de divisores efectivos del espacio moduli de gavillas en el plano y es más, propone un algoritmo para calcular todas las cámaras de Mori del esquema de Hilbert de puntos en el plano; mismo que somos capaces de demostrar en algunos casos. Este trabajo es una colaboración con Manuel Leal (UNAM, Oaxaca) y Tim Ryan (Michigan, Ann-Arbor.)
4:00 pm, 10 marzo: Sobre libertades geográficas del grupo fundamental de superficies de tipo general. (VIDEO)
Los invariantes fundamentales de una superficie compleja de tipo general son sus números de Chern: c 12 (auto-intersección del divisor canónico) y c 2 (característica topológica de Euler). En clasificación de superficies de tipo general se habla del espacio de moduli M(c 12, c 2), así como se habla del espacio de moduli M g para curvas de género g>1.
Nos enfocaremos en la siguiente pregunta. Si G es el grupo fundamental de alguna variedad proyectiva suave, y además 1/5 ≤ b < a ≤ 3: ¿existen superficies de tipo general con grupo fundamental G y b*c 2 ≤ c 12 ≤ a*c 2? Es decir, ¿qué restricciones nos impone G en la geografía de superficies de tipo general?
En el trabajo conjunto "Savage surfaces" con Sergio Troncoso, demostramos que c 12/c 2 es denso en [1,3] para superficies de tipo general con grupo fundamental G. De esta forma, tenemos completa libertad geográfica en [1,3]. Hablaré de la demostración, y de las restricciones que tenemos para pendientes en [1/5,1].
Daniel Sánchez Argáez, UAM-Iztapalapa.
4:00 pm, 24 marzo: Variedades de Hessenberg.
Para la variedad de banderas completas F en un espacio vectorial complejo V de dimensión finita se considera la subvariedad de Hessenberg para un endomorfismo X de V y una función de Hessenberg h arbitraria. La acción natural del toro algebraico de dimensión máxima en la variedad de banderas F se restringe a una acción del toro en la variedad de Hessenberg. Damos una descripción del anillo de coordenadas de la variedad de Hessenberg usando condiciones determinantales, lo que permite determinar los puntos fijos de la acción del toro y sus órbitas unidimensionales para calcular la gráfica de momentos correspondiente.
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