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4:00pm, 14 abril: The Geometry of Hilbert's 13th Problem.
The goal of this talk is to explain how enumerative geometry can be used to simplify the solution of polynomials in one variable. Given a polynomial in one variable, what is the simplest formula for the roots in terms of the coefficients? Hilbert conjectured that for polynomials of degree 6,7 and 8, any formula must involve functions of at least 2, 3 and 4 variables respectively (such formulas were first constructed by Hamilton). In a little-known paper, Hilbert sketched how the 27 lines on a cubic surface should give a 4-variable solution of the general degree 9 polynomial. In this talk I'll recall Klein and Hilbert's geometric reformulation of solving polynomials, explain the gaps in Hilbert's sketch and how we can fill these using modern methods. As a result, we obtain best-to-date upper bounds on the number ofvariables needed to solve a general degree n polynomial for all n, improving results of Segre and Brauer.
Leonardo Roa, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
4:00 pm, 21 abril: Haces vectoriales de rango 2 sobre superficies.
El espacio moduli de haces vectoriales Mumford-Takemoto estables de rango 2 sobre superficies fue construido por M. Maruyama en 1975. Desde entonces, estos espacios móduli han sido estudiados desde diferentes puntos de vista por sus conexiones con diferentes áreas de matemáticas, en particular geometría simpléctica y diferencial, topología, física, entre otras. Varias preguntas relacionadas con no vacuidad, irreducibilidad, conexidad, etc, no tienen una respuesta general.
En esta charla, consideraremos una fibración f: X--> sobre una curva C y un haz lineal amplio H sobre la superficie X. Demostraremos que el pullback, bajo f, de un haz vectorial estable de rango 2 sobre la curva es H-estable. Este resultado permite determinar propiedades geométricas del espacio moduli de haces vectoriales sobre la superficie y relacionar el espacio moduli de haces sobre la curva con el moduli de haces sobre la superficie. También demostraremos propiedades del locus de Brill-Noether sobre la superficie y presentamos una generalización del Teorema de Clifford de haces sobre curvas a haces vectoriales de rango 2 sobre superficies. Este trabajo es en conjunto con Graciela Reyes-Ahumada y Hugo Torres-López.
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4:00pm, 3 marzo: Geometría birracional via resoluciones.
La resolución minimal de una gavilla F en el plano proyectivo es un complejo cuyos factores son sumas de haces lineales. Por otro lado, condiciones de estabilidad de Bridgeland dictan una resolución para F cuyos factores son haces vectoriales no triviales de rango alto.
En esta charla reportaremos investigación sobre la relación entre estas dos resoluciones. El diccionario que existe entre ellas describe el cono de divisores efectivos del espacio moduli de gavillas en el plano y es más, propone un algoritmo para calcular todas las cámaras de Mori del esquema de Hilbert de puntos en el plano; mismo que somos capaces de demostrar en algunos casos. Este trabajo es una colaboración con Manuel Leal (UNAM, Oaxaca) y Tim Ryan (Michigan, Ann-Arbor.)
4:00 pm, 10 marzo: Sobre libertades geográficas del grupo fundamental de superficies de tipo general.
Los invariantes fundamentales de una superficie compleja de tipo general son sus números de Chern: c12 (auto-intersección del divisor canónico) y c2 (característica topológica de Euler). En clasificación de superficies de tipo general se habla del espacio de moduli M(c12, c2), así como se habla del espacio de moduli Mg para curvas de género g>1.
Nos enfocaremos en la siguiente pregunta. Si G es el grupo fundamental de alguna variedad proyectiva suave, y además 1/5 ≤ b < a ≤ 3: ¿existen superficies de tipo general con grupo fundamental G y b*c2 ≤ c12 ≤ a*c2? Es decir, ¿qué restricciones nos impone G en la geografía de superficies de tipo general?
En el trabajo conjunto "Savage surfaces" con Sergio Troncoso, demostramos que c12/c2 es denso en [1,3] para superficies de tipo general con grupo fundamental G. De esta forma, tenemos completa libertad geográfica en [1,3]. Hablaré de la demostración, y de las restricciones que tenemos para pendientes en [1/5,1].
Daniel Sánchez Argáez, UAM-Iztapalapa.
4:00 pm, 24 marzo: Variedades de Hessenberg.
Para la variedad de banderas completas F en un espacio vectorial complejo V de dimensión finita se considera la subvariedad de Hessenberg para un endomorfismo X de V y una función de Hessenberg h arbitraria. La acción natural del toro algebraico de dimensión máxima en la variedad de banderas F se restringe a una acción del toro en la variedad de Hessenberg. Damos una descripción del anillo de coordenadas de la variedad de Hessenberg usando condiciones determinantales, lo que permite determinar los puntos fijos de la acción del toro y sus órbitas unidimensionales para calcular la gráfica de momentos correspondiente.
Expositores confirmados este semestre:
Julie Decaup
Edoardo Sernesi
Brooke Ullery
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4:00pm, 2 diciembre: Monodromía de familias de variedades (VIDEO)
Las familias de variedades algebraicas son objetos de estudio fundamentales y un problema básico, pero usualmente difícil, es el determinar su monodromía. Entre los resultados más célebres, Klein y Jordan determinaron la monodromía de la familia universal de las superficies cúbicas suaves, la cual es el grupo de Weyl de E_6. En esta charla hablaré de este y varios ejemplos de otras familias universales de hipersuperficies suaves. Así mismo, daré el cálculo explícito para la familia de superficies cúbicas que son realizadas como cubiertas ramificadas de P^2 sobre una curva cúbica, utilizando la relación entre las 27 líneas en una superficie cúbica y los 9 puntos de inflexión de una curva cúbica.
Última charla del semestre
4:00 pm, 9 diciembre: Green's Conjecture via Koszul modules
Using ideas from geometric group theory we provide a novel
approach to Green's Conjecture on syzygies of canonical curves. Via a
strong vanishing result for Koszul modules we deduce that a general
canonical curve of genus g satisfies Green's Conjecture when the
characteristic is zero or at least (g+2)/2. Our results are new in
positive characteristic (and answer positively a conjecture of Eisenbud
and Schreyer), whereas in characteristic zero they provide a different
proof for theorems first obtained in two landmark papers by Voisin.
Joint work with Aprodu, Papadima, Raicu and Weyman.
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Rodolfo Aguilar, Université Grenoble-Alpes.
3:00pm, 4 noviembre: El grupo fundamental de cocientes de un producto de variedades algebraicas.
Tomando como motivación el estudio del grupo fundamental de compactificaciones parciales del complemento de un arreglo de líneas en el plano proyectivo complejo, presentaremos un teorema sobre la estructura del grupo fundamental de cocientes de un producto de variedades algebraicas por un grupo finito que actúa diagonalmente. El teorema generaliza un teorema de estructura de Bauer-Catanese-Grunewald-Pignatelli y Dedieu-Perroni para el caso de cocientes de un producto de curvas proyectivas lisas.
Charla panorámica
Ángela Ortega, Humboldt Universität zu Berlin.
3:00 pm, 11 noviembre: Geometría de la aplicación de Prym (VIDEO)
Las variedades de Prym son variedades abelianas construidas a partir de
cubrientes
de curvas, por ello son una herramienta muy importante en el estudio del
espacio moduli de variedades abelianas. La aplicación de Prym
es el vínculo entre el moduli de cubrientes de curvas y el de variedades
abelianas.
En esta charla partiremos de las definiciones básicas de variedades de Prym y
polarización, a una excursión sobre la geometría de las aplicaciones de Prym,
sus fibras y teoremas de Torelli. Terminaremos mencionando las apariciones de
las variedades de Prym en otros contextos de la geometría algebraica.
Artículo de la expositora relevante para esta charla: (PDF)
Graciela Reyes Ahumada, CONACYT -- UAZacatecas.
4:00pm, 25 noviembre: Formas de volumen 7-dimensionales: una aplicación de GIT a un problema de física.
El estudio de las formas de volumen sobre variedades reales es un tema de interés en física teórica que ha tenido muchas aplicaciones en los últimos años.
Recordemos que una forma de volumen en una variedad n-dimensional es la integral con respecto a una n-forma diferencial, por lo que estudiar formas de volumen es equivalente a estudiar el haz vectorial de n-formas (haz canónico); de este modo, algunas de las preguntas provenientes de física se pueden interpretar en el lenguaje de haces vectoriales y G-haces principales, por lo que podemos utilizar técnicas de geometría algebraica para estudiar tales preguntas.
En esta charla utilizaremos herramientas provenientes de teoría de invariantes geométricos (GIT) para estudiar formas de volumen estables en una variedad de dimensión 7.
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Dori Bejleri, Harvard University.
4:00pm, 7 octubre: Stable pair compactifications of the moduli space of degree one del Pezzo surfaces. (VIDEO)
A degree one del Pezzo surface is the blowup of P2 at 8 general points. By the classical Cayley-Bacharach Theorem, there is a unique 9th point whose blowup produces a rational elliptic surface with a section. Via this relationship, we can construct a compactification by stable pairs of the moduli space of anti-canonically polarized degree one del Pezzo surfaces. The theory of stable pairs (X,D) is the natural extension to dimension 2 of the Deligne-Mumford-Knudsen theory of pointed stable curves. I will discuss the construction of the space of interest as a limit of spaces of weighted stable elliptic surface pairs and explain how it relates to some previous compactifications of the space of degree one del Pezzo surfaces. This is joint work with Kenny Ascher.
Marco Flores, Humboldt Universität zu Berlin.
3:00 pm, 14 octubre: El teorema de Bruinier-Raum, pero cohomológico y aritmético. (VIDEO)
Las formas modulares de Siegel son la versión en dimensiones superiores de las formas modulares clásicas: mientras estas últimas son secciones de un haz lineal en el móduli de curvas elípticas, las anteriores lo son en el móduli de variedades abelianas con polarización principal. Un objeto que aparece con esta generalización es la serie de Fourier-Jacobi de una forma modular de Siegel, y uno puede preguntarse si cualquier serie formal de ese tipo proviene de una forma modular de Siegel. Bruinier y Raum respondieron la pregunta afirmativamente, sobre los complejos, en 2014. En esta charla estudiaremos el problema sobre Spec Z, y haremos una reformulación del problema que nos llevará a investigar la cohomología de ciertas gavillas en variedades tóricas.
Lara Bossinger, UNAM - Oaxaca.
4:00pm, 28 octubre: Degeneraciones de Groebner y familias tóricas.
En esta charla presento resultados recientes de una colaboración con Fatemeh Mohammadi y Alfredo Nájera Chávez. Dado una variedad proyectiva V y un ideal J que representa a V nos interesa la teoría de Groebner del ideal J. En esta teoría estudiamos vectores de peso en las coordenadas e ideales iniciales de J. Cada peso nos da una degeneración de Groebner de la variedad V. Además los pesos son organizados en un abanico-- el abanico de Groebner del ideal J, GF(J). Introducimos una familia de degeneraciones de V que combina todas las degeneraciones de Groebner asociadas a un cono maximal de GF(J). Resulta que esta familia está relacionada íntimamente con las familias tóricas en el sentido de la clasificación de Kaveh--Manon. Más aún si nuestra variedad tiene una estructura de conglomerado descubrimos una interacción profunda entre la estructura de conglomerado y la teoría de Groebner.
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