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4:00pm, 2 junio: The rank of syzygies of canonical curves. (VIDEO)
The classical work of Petri tells us that a canonical curve is an intersection of quadrics (with some exceptions) and, moreover, the theorem of Max Noether tells us how many such quadrics are needed to generate the ideal of the curve. It is natural to ask what one can say about these quadrics, and, indeed, in important work by Andreotti-Mayer in the 60s and Green in the 80s, it is established that the ideal is always generated by quadrics of rank four. Following Green's philosophy that one should generalize the classical work on the ideal of a projective variety to a study of the minimal free resolution of the ideal, we will show how to define a notion of rank for any linear syzygy. We then generalize Andreotti-Mayer-Green's result by proving that all linear syzygy spaces of a canonical curve are spanned by syzygies of the minimal possible rank.
3:00 pm, 16 junio: Fullness of exceptional collections via stability conditions - A case of study: the quadric threefold. (VIDEO)
A powerful tool of investigation of Fano varieties is provided by exceptional collections in their derived categories. In general, proving the fullness of such a collection is a hard problem, often done on a case-by-case basis, with the aid of a deep understanding of the underlying geometry. Likewise, when an exceptional collection is not full, it is not straightforward to determine whether its residual category is the derived category of a variety.
Taking after Bondal and Orlov, we examine two cases: the case of quadric hypersurfaces in P n+1 and the case of the index 2 Fano threefold Y (the generic intersection of two quadrics in P 5. In the first case, we prove that the classical result by Kapranov on the fullness of the standard exceptions is equivalent to the existence of a numerical stability condition on the residual category of the exceptional collection of the quadric. In the second case, we show how the same technique recovers the equivalence of the residual category of the exceptional collection {O Y,O Y(1)} with the derived category of a genus 2 curve. This is joint work with Domenico Fiorenza.
Última charla del semestre
4:00 pm: 30 de junio, Puntos de torsión sobre curvas hiperelípticas y ecuación de Pell-Abel
Las curvas hiperelípticas son recubrimientos ramificados de grado dos de la recta proyectiva. En el complemento de los puntos de ramificaciones, la preimagen de un punto consta de dos puntos distintos que se nombran p y q. La diferencia p-q es de r-torsión si existe una función que tiene un cero de orden r en p y un polo de orden r en q (y no otras singularidades).
La búsqueda de curvas hiperelípticas definidas sobre los racionales con puntos de r-torsión es un problema de importancia que todavía no se ha resuelto en general, y el objetivo de la charla es el resolverlo sobre números complejos (y de hecho reales). Mas precisamente, se mostrará que este problema es equivalente a resolver la ecuación de Pell-Abel y esto permitirá caracterizar los enteros r tales que existe una curva hiperelíptica definida sobre los complejos con puntos de r-torsión. El resultado obtenido permite formularnos nuevas preguntas respecto a este problema sobre los racionales. Esta charla se basará principalmente en el articulo arXiv:2010.09915.
Charla panorámica
4:00pm, 5 mayo: K3 curves: results and problems. (VIDEO)
I will give an overview of some of the results known about K3 curves, i.e. those curves that can be realized as a hyperplane sections of a K3 surface. I will focus on those results which involve the so-called Wahl map, from the nowadays classical work of Wahl and Beauville-Merindol, up to the most recent work on the subject by several authors.
4:00 pm, 12 mayo: Cayley-Bacharach theorems and measures of irrationality. (VIDEO)
If Z is a set of points in projective space, we can ask which polynomials of degree d vanish at every point in Z. If P is one point of Z, the vanishing of a polynomial at P imposes one linear condition on the coefficients. Thus, the vanishing of a polynomial on all of Z imposes |Z| linear conditions on the coefficients. A classical question in algebraic geometry, dating back to at least the 4th century, is how many of those linear conditions are independent? For instance, if we look at the space of lines through three collinear points in the plane, the unique line through two of the points is exactly the one through all three; i.e. the conditions imposed by any two of the points imply those of the third.
In this talk, I will survey several classical results including the original Cayley-Bacharach Theorem and Castelnuovo's Lemma about points on rational curves. I'll then describe some recent results and conjectures about points satisfying the so-called Cayley-Bacharach condition and show how they connect to several seemingly unrelated questions in contemporary algebraic geometry relating to the gonality of curves and measures of irrationality of higher dimensional varieties.
4:00 pm: 26 de mayo,
Cancelada.
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4:00pm, 14 abril: The Geometry of Hilbert's 13th Problem.
The goal of this talk is to explain how enumerative geometry can be used to simplify the solution of polynomials in one variable. Given a polynomial in one variable, what is the simplest formula for the roots in terms of the coefficients? Hilbert conjectured that for polynomials of degree 6,7 and 8, any formula must involve functions of at least 2, 3 and 4 variables respectively (such formulas were first constructed by Hamilton). In a little-known paper, Hilbert sketched how the 27 lines on a cubic surface should give a 4-variable solution of the general degree 9 polynomial. In this talk I'll recall Klein and Hilbert's geometric reformulation of solving polynomials, explain the gaps in Hilbert's sketch and how we can fill these using modern methods. As a result, we obtain best-to-date upper bounds on the number ofvariables needed to solve a general degree n polynomial for all n, improving results of Segre and Brauer.
Leonardo Roa, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
4:00 pm, 21 abril: Haces vectoriales de rango 2 sobre superficies. (VIDEO)
El espacio moduli de haces vectoriales Mumford-Takemoto estables de rango 2 sobre superficies fue construido por M. Maruyama en 1975. Desde entonces, estos espacios móduli han sido estudiados desde diferentes puntos de vista por sus conexiones con diferentes áreas de matemáticas, en particular geometría simpléctica y diferencial, topología, física, entre otras. Varias preguntas relacionadas con no vacuidad, irreducibilidad, conexidad, etc, no tienen una respuesta general.
En esta charla, consideraremos una fibración f: X--> sobre una curva C y un haz lineal amplio H sobre la superficie X. Demostraremos que el pullback, bajo f, de un haz vectorial estable de rango 2 sobre la curva es H-estable. Este resultado permite determinar propiedades geométricas del espacio moduli de haces vectoriales sobre la superficie y relacionar el espacio moduli de haces sobre la curva con el moduli de haces sobre la superficie. También demostraremos propiedades del locus de Brill-Noether sobre la superficie y presentamos una generalización del Teorema de Clifford de haces sobre curvas a haces vectoriales de rango 2 sobre superficies. Este trabajo es en conjunto con Graciela Reyes-Ahumada y Hugo Torres-López.
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4:00pm, 3 marzo: Geometría birracional via resoluciones.
La resolución minimal de una gavilla F en el plano proyectivo es un complejo cuyos factores son sumas de haces lineales. Por otro lado, condiciones de estabilidad de Bridgeland dictan una resolución para F cuyos factores son haces vectoriales no triviales de rango alto.
En esta charla reportaremos investigación sobre la relación entre estas dos resoluciones. El diccionario que existe entre ellas describe el cono de divisores efectivos del espacio moduli de gavillas en el plano y es más, propone un algoritmo para calcular todas las cámaras de Mori del esquema de Hilbert de puntos en el plano; mismo que somos capaces de demostrar en algunos casos. Este trabajo es una colaboración con Manuel Leal (UNAM, Oaxaca) y Tim Ryan (Michigan, Ann-Arbor.)
4:00 pm, 10 marzo: Sobre libertades geográficas del grupo fundamental de superficies de tipo general. (VIDEO)
Los invariantes fundamentales de una superficie compleja de tipo general son sus números de Chern: c 12 (auto-intersección del divisor canónico) y c 2 (característica topológica de Euler). En clasificación de superficies de tipo general se habla del espacio de moduli M(c 12, c 2), así como se habla del espacio de moduli M g para curvas de género g>1.
Nos enfocaremos en la siguiente pregunta. Si G es el grupo fundamental de alguna variedad proyectiva suave, y además 1/5 ≤ b < a ≤ 3: ¿existen superficies de tipo general con grupo fundamental G y b*c 2 ≤ c 12 ≤ a*c 2? Es decir, ¿qué restricciones nos impone G en la geografía de superficies de tipo general?
En el trabajo conjunto "Savage surfaces" con Sergio Troncoso, demostramos que c 12/c 2 es denso en [1,3] para superficies de tipo general con grupo fundamental G. De esta forma, tenemos completa libertad geográfica en [1,3]. Hablaré de la demostración, y de las restricciones que tenemos para pendientes en [1/5,1].
Daniel Sánchez Argáez, UAM-Iztapalapa.
4:00 pm, 24 marzo: Variedades de Hessenberg.
Para la variedad de banderas completas F en un espacio vectorial complejo V de dimensión finita se considera la subvariedad de Hessenberg para un endomorfismo X de V y una función de Hessenberg h arbitraria. La acción natural del toro algebraico de dimensión máxima en la variedad de banderas F se restringe a una acción del toro en la variedad de Hessenberg. Damos una descripción del anillo de coordenadas de la variedad de Hessenberg usando condiciones determinantales, lo que permite determinar los puntos fijos de la acción del toro y sus órbitas unidimensionales para calcular la gráfica de momentos correspondiente.
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