Hierarchical percolation is a toy model for percolation on Z^d that, much like the Euclidean model, is expected to exhibit mean-field behavior in high dimensions, non-mean-field behavior in low dimensions, and mean-field behavior with logarithmic corrections at the upper-critical dimension. Building on Hutchcroft’s work on cluster volumes in hierarchical percolation, we examine the distribution of the chemical distance in high dimensions and the upper-critical dimension. In this talk, I will explain the renormalization group—style analysis we use to obtain precise estimates on the moments of the chemical distance and discuss our attempt to generalize this approach to long-range percolation on the Euclidean lattice. Joint work with Tom Hutchcroft.

Exchangeability is an interesting property of random vectors with applications in probability theory and statistics. It often emerges in classical population genetics models, which study the transmission of types or traits in a population through time. In the classical Cannings model, a fixed-size and discrete generations model, individuals choose their parents from the previous generation in an exchangeable fashion. This ensures that the vector containing the types of the individuals stays exchangeable in every generation. In this work, we study the broader case of infinite population and identify the rules for the choice of ancestors that allow the exchangeability of the types vector to propagate forward in time. In particular, we provide examples of non-exchangeable forms of choice that still preserve types exchangeability from one generation to the next. De Finetti's theorem allows to derive random variables representing the frequency of a type in our infinite populaton, whose laws can be studied thanks to a moment duality result. Finally, our method sheds light on a nice countable representation of famous diffusions, such as the Wright-Fisher diffusion with selection (lookdown constructions).

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In this talk we investigate the contact process in the case when the underlying structure evolves dynamically as a degree-dependent dynamical percolation model. Starting with a connected locally finite base graph we initially declare edges independently open with a probability that is allowed to depend on the degree of the adjacent vertices and closed otherwise. Edges are independently updated with a rate depending on the degrees and then are again declared open and closed with the same probabilities. We are interested in the contact process, where infections are only allowed to spread via open edges. Our aim is to analyse the impact of the update speed and the probability for edges to be open on the existence of a phase transition. For a general connected locally finite graph, our first result gives sufficient conditions for the critical value for survival to be strictly positive. Furthermore, in the setting of Bienaymé-Galton-Watson trees, we show that the process survives strongly with positive probability for any infection rate if the offspring distribution has a stretched exponential tail with an exponent depending on the percolation probability and the update speed. In particular, if the offspring distribution follows a power law and the connection probability is given by a product kernel and the update speed exhibits polynomial behaviour, we provide a complete characterisation of the phase transition.

This talk is based on joint work with Marcel Ortgiese (University of Bath), Marco Seiler (University of Frankfurt) and Anja Sturm (University of Göttingen).

El ajuste fino del universo para la vida es la idea de que las constantes de la naturaleza (parámetros de los modelos físicos del universo) deben encontrarse dentro de intervalos muy pequeños para que la vida pueda existir. Sin embargo, han surgido varias críticas respecto a la medición probabilística de dichos intervalos que permiten la vida. Basado en una serie de desarrollos recientes, presentaré un marco bayesiano y de máxima entropía que aborda varias de estas cuestiones. Además, presentaré ejemplos de extensiones de ajuste fino a otras áreas de la ciencia, como la astrobiología y la genética de poblaciones, entre otras.

Los tumores se clasifican como benignos o malignos, dependiendo de si sus células se limitan a la masa tumoral principal o si pueden invadir otros tejidos. Generalmente, se presupone que las células tumorales se vuelven malignas cuando pierden adhesiones con las células vecinas en un proceso llamado transición epitelio-mesénquimo. Sin embargo, observaciones recientes sugieren que las células tumorales malignas pueden conservar sus propiedades adhesivas mientras realizan largas incursiones en el tejido circundante. Mediante un modelo matemático, se demuestra que los tumores pueden malignizarse gradualmente simplemente al aumentar la probabilidad de movimiento celular a larga distancia, experimentando procesos metastásicos cíclicos con altos niveles de adhesión y movilidad.

Esta charla está motivada por una fórmula relacionando la altura de un árbol con sus longitudes de ramas. Cuándo el árbol representa la genealogía de una población, esta fórmula se traduce en una relación entre el tiempo hacia el antepasado común más reciente (TMRCA) y el número de mutación es observables, siendo la fuente de diversidad genética. Por lo tanto se puede desarrollar un estimador del TMRCA de una muestra., a partir de datos genéticos. Bajo ciertas hipótesis de evolución, es a veces más interesante considerar el TMRCA que la longitud del árbol para aplicaciones estadísticas en genética de poblaciones. En particular, en cuanto a la estimación de la demografía pasada de una población. Veremos las implicaciones de esta relación en varios modelos de coalescencia. También intentaremos generalizarla a modelos más realistas, incluyendo recombinación genética.

Definir una métrica de distancia apropiada entre los puntos de una muestra es fundamental para el aprendizaje automático no supervisado, pero a menudo representa un desafío importante. El aprendizaje de variedades (manifold learning) aborda esto buscando una representación (variedad Riemenniana) de baja dimensión que preserve las relaciones geométricas, a priori desconocidas, entre los datos.

Un enfoque reciente utiliza las distancias de Fermat muestrales (sample Fermat distances). Estas son funciones de distancia aleatorias cuya definición se basa en un mecanismo de percolación inhomogéneo en el espacio. Dichas distancias estiman las funciones de distancia de Fermat macroscópicas, que son deterministas, en la variedad. Estas últimas se definen siguiendo el principio de Fermat sobre la trayectoria de la luz en un medio refractivo (la variedad), utilizando como índice de refracción una función que depende de la densidad desconocida con la que se muestrean los datos.

Este trabajo introduce una extensión del modelo que incorpora un componente temporalmente inhomogéneo en la definición de las distancias de Fermat. Esta extensión transforma la métrica de distancia tradicionalmente simétrica en una función de costo asimétrica. Se espera que este desarrollo teórico conduzca a nuevos algoritmos para agrupamiento (clustering), recomendación y detección de anomalías en altas dimensiones.