The contact process is a simple model for the spread of an infection in a structured population. We consider a variant of the contact process, where vertices are equipped with a random fitness representing inhomogeneities among individuals. In this inhomogeneous contact process, the infection is passed along an edge with rate proportional to the product of the fitness values of the vertices on either end. We assume that the underlying population structure is given by a Galton-Watson tree. Recent works by Huang/Durrett and Bhamidi et al have given necessary and sufficient conditions on the offspring distribution for the classic contact process to exhibit a phase transition. In this spirit, we give sufficient conditions on the fitness and offspring distribution for the contact process with fitness on Galton-Watson trees that either guarantee that there is a phase transition or that the process is always supercritical. In particular, we can see that we need to consider the combined effect of fitness and offspring distribution to decide which scenario occurs. This is joint work with Marcel Ortgiese (University of Bath).

En esta plática compartiré resultados preliminares obtenidos junto con Arno Siri-Jégousse. Presentaré la construcción de ciertos procesos de Feller autosimilares con valores en las medidas. Dichos procesos cumplen la propiedad de que su transformación de Lamperti (una generalización de aquella descrita en Alili et al. 2017 para procesos en R^d) resulta en un proceso de Markov aditivo (MAP). Escogiendo los parámetros adecuados, obtenemos que la primera coordenada del MAP resultante, que corresponde al "argumento" o "ángulo" (cambiado de tiempo) del proceso autosimilar, es el proceso de Fleming-Viot dual a cualquier coalescente simple previamente escogido. Al mismo tiempo, la segunda coordenada del MAP, que corresponde al logaritmo de la "magnitud", es un proceso de Lévy. Este trabajo es una generalización de los resultados descritos en Birkner et al. 2005 en donde se establece una relación análoga entre procesos de ramificación alfa-estables y los procesos de Fleming-Viot duales a los Beta(2-alfa,alfa)-coalescentes.

Λ-Wright--Fisher processes provide an important modeling framework within mathematical population genetics. We present a variety of parameter-dependent long-term behaviors for a broad class of such processes and explain how to discriminate the different boundary behaviors by explicit criteria. In particular, we describe situations in which both boundary points are asymptotically inaccessible – an apparently new phenomenon in this context. This has interesting biological implications, because it leads to a class of stochastic population models in which selection alone can maintain genetic variation. If at least one boundary point is asymptotically accessible, we derive decay rates for the probability that the boundary is not essentially accessed. To prove this result, we establish and employ Siegmund duality. The dual process can be sandwiched at the boundary in between two transformed Lévy processes. This allows us to relate the boundary behavior of the dual to fluctuation properties of the Lévy processes and it sheds new light on previously established accessibility conditions. This is joint work with Fernando Cordero and Grégoire Véchambre.

Los entrelazamientos aleatorios (random interlacements) se construyen a partir de cierta sopa Poissoniana de caminatas aleatorias en Z^d. Un parámetro u > 0 controla la intensidad del proceso puntual de Poisson. De manera natural, los entrelazamientos aleatorios definen una percolación I(u), con correlaciones de largo alcance, en Z^d.

En esta charla, estudiaremos propiedades asintóticas de la distancia química en la percolación I(u). Al tomar cierto límite de la distancia química, se obtiene su constante de tiempo. La constante de tiempo tiene una interpretación geométrica pues, para cada parámetro u, define una norma en R^d. En dimensión d ≥ 5, probaremos cotas superiores e inferiores para esta constante de tiempo, conforme la intensidad decae a cero. (Trabajo en conjunto con Eviatar Procaccia y Ron Rosenthal).