We consider a stochastic model for the evolution of a discrete population structured by a trait taking finitely many values on a grid of [0, 1], with mutation and selection. We study of the dynamics of the population in logarithm size and time scales, under a large population assumption. In the first part of the talk, individual mutations are rare but the global mutation rate tends to infinity. Then negligible sub-populations may have a strong contribution to evolution. The traits can also be horizontally transferred, leading to a trade-off between natural evolution to higher birth rates and transfer which drives the population towards lower birth rates. We prove that the stochastic discrete exponent process converges to a piecewise affine continuous function, which can be described along successive phases determined by dominant traits. In the second part of the talk, the individual mutations are small but not rare, we don’t have any transfer and we assume the grid mesh for the trait values becoming smaller and smaller. We establish that under our rescaling, the stochastic discrete exponent process converges to the viscosity solution of a Hamilton-Jacobi equation, filling the gap between individual-based evolutionary models and Hamilton-Jacobi equations.

Joint works with N. Champagnat and V.C. Tran, and S. Mirrahimi for the second part.

Explicit quantitative bounds in the hyper-rectangle distance $d_{HR}$ in terms of a Berry-Esseen type bound are derived, in the setting of high-dimensional, non-linear functionals of Gaussian processes while allowing for a strong dependence structure. Under some smoothness and regularity assumptions, the rate under $d_{HR}$ is determined to be sub-polynomial in dimension $d$ and, in the case where the underlying Gaussian process has short-range dependence, the dependence on the number of observations $n$ is found to be $n^{-1/2} log(n)$. Many statistical applications arise, where important examples covered in the paper are; method of moments, empirical characteristic functions, empirical moment-generating functions and a functional Breuer-Major

Hierarchical percolation is a toy model for percolation on Z^d that, much like the Euclidean model, is expected to exhibit mean-field behavior in high dimensions, non-mean-field behavior in low dimensions, and mean-field behavior with logarithmic corrections at the upper-critical dimension. Building on Hutchcroft’s work on cluster volumes in hierarchical percolation, we examine the distribution of the chemical distance in high dimensions and the upper-critical dimension. In this talk, I will explain the renormalization group—style analysis we use to obtain precise estimates on the moments of the chemical distance and discuss our attempt to generalize this approach to long-range percolation on the Euclidean lattice. Joint work with Tom Hutchcroft.

We study a version of De Finetti’s optimal dividend problem driven by a diffusion, where the control strategies are assumed to be absolutely continuous strategies which are bounded above by an increasing, concave function.

We provide sufficient conditions to show that an optimal strategy exists and lies within the set of generalized refraction strategies. In addition, we are able to characterize the optimal refraction threshold in our setting.

This is joint work with Hélène Guérin, Jean-François Renaud and Alexandre Roch.

Los procesos de Ramificación constituyen una clase de procesos estocásticos utilizados principalmente para el estudio de poblaciones que se reproducen con el paso del tiempo. En el modelo clásico, el proceso de Galton-Watson, se estudia la evolución del tamaño de una población suponiendo una determinada ley de progenie, común para todos los individuos en ella. A partir de este modelo han surgido otros con múltiples consideraciones diferentes o adicionales, como ley de progenie variante en el tiempo, procesos de ramificación multitipo, procesos continuos en el tiempo, con ramificación no local, entre otros. En esta plática, veremos resultados sobre algunos de estos modelos, detallando un resultado sobre la convergencia de los momentos de un tipo especial de proceso de ramificación no local, con una apropiada normalización.

En esta charla presentaremos una comparación entre dos métricas ampliamente utilizadas en análisis de funciones reales: la métrica del supremo y la métrica de variación total. Mostraremos, a través de ejemplos concretos, cómo la métrica de variación total permite distinguir con mayor precisión la estructura de funciones que la métrica del supremo no detecta. Posteriormente, propondremos una nueva métrica tipo Skorohod sobre el espacio de funciones de variación acotada BV([0,1]), la cual da lugar a un subespacio completo y separable (Espacio Polaco). Esta construcción ofrece una base funcional sólida para el estudio de convergencia débil y análisis probabilístico.

La teoría de portafolios es un área de estudio que intersecta las finanzas y la investigación operativa. Su origen se remonta a los años 50, cuando Harry Markowitz (Premio Nobel de Economía) planteó el problema de construir un portafolio de inversión como un problema de optimización estocástica. Posteriormente, surgieron variantes del modelo inicial, incorporando mejoras en los modelos estadísticos y en las medidas de riesgo financiero. Hoy, la construcción de portafolios utiliza conceptos tanto del mundo financiero-matemático como de áreas más recientes, tales como el machine learning y la inteligencia artificial. En esta charla se presentará el modelo de Fintual (fintech chileno-mexicana), el cual utiliza una metodología basada en redes neuronales generativas, logrando estimaciones más precisas, portafolios más estables, mayor diversificación y mejores rendimientos históricos. Esta metodología fue publicada en la revista de investigación en finanzas cuantitativas más prestigiosa del mundo, el Journal of Quantitative Finance, y es precisamente este modelo el que utiliza Fintual para construir los portafolios de los 150.000 clientes que tiene en Latinoamérica.

Los autómatas celulares son sistemas dinámicos definidos por reglas locales que permiten modelar una amplia variedad de fenómenos en matemáticas, biología y física.

En esta charla exploraremos cómo la teoría de percolación en gráficas de Cayley, ofrece herramientas para clasificar el comportamiento de los autómatas celulares en función de la estructura del grupo subyacente.

Este es un trabajo en colaboración con Sebastián Barbieri y Siamak Taati.

El movimiento activo se distingue del pasivo (browniano) en tanto que los mecanismos que dan origen al primero, están basados en procesos intrínsecamente alejados del equilibrio. Estos procesos proveen al movimiento activo de características distintivas como ser persistente. Esta característica da lugar a una variedad de efectos de interés tanto a nivel individual como colectivo. En esta plática presentaré resultados teóricos de un análisis desde la física estadística de algunos modelos de movimiento activo.

This talk is based on an article written with Oliver Tough. We study necessary and sufficient criteria for global survival of discrete- or continuous-time branching Markov processes.

We relate these to several definitions of generalized principle eigenvalues for elliptic operators due to Berestycki and Rossi. In doing so, we extend these notions to fairly general semigroups of linear positive operators. We use this relation to prove new results about the generalized principle eigenvalues, as well as about uniqueness and non-uniqueness of stationary solutions of a generalized FKPP equation. The probabilistic approach through branching processes gives rise to relatively simple and transparent proofs under much more general assumptions, as well as constructions of (counter-)examples to certain conjectures.