Este trabajo presenta un modelo SIS con dos estocasticidades independientes, en el contexto de los procesos de Itô, basado en un modelo propuesto por Otonuga para la infección por COVID-19 en el que solo se usa un término estocástico. La inclusión de dos estocasticidades está motivada por la introducción de fluctuaciones aleatorias en dos parámetros o tasas del modelo: la tasa de transmisión β y la tasa de abandono μ + γ, para incluir cambios en estas tasas debido a factores externos aleatorios como condiciones ambientales, comportamiento humano, capacidad sanitaria, políticas de salud pública, entre otros. La metodología está inspirada en la propuesta de Cai et al. para un modelo compartimental tipo SIS. Bajo el nuevo modelo, demostramos la existencia y unicidad de la solución de la ecuación diferencial estocástica que modela la proporción de individuos infectados. Además, aseguramos que la solución obtenida se mantenga en el intervalo $[0, 1]$ y encontramos restricciones en los parámetros que determinan la extinción y persistencia de la enfermedad. La existencia y unicidad de la distribución estacionaria para los casos de persistencia se obtiene basándonos en un lema probado por Khaminskii. Según el conocimiento de los autores, el modelo propuesto por Otonuga no ha sido estudiado con dos estocasticidades.

Trabajo realizado en conjunto con: Alejandra Christen (Universidad de Valparaíso) y Maria Clara Fittipaldi (UNAM).

En esta charla, exploraremos el tema de cortes en árboles aleatorios recursivos. Presentaremos un nuevo modelo de corte donde la probabilidad de eliminar un vértice es proporcional a su grado. Comparamos este proceso con el número de saltos dados por una cadena de Markov con barrera para obtener una cota superior.También discutiremos el estudio hecho a través de la teoría de coalescentes.

Las ecuaciones de cambio de tiempo son una generalización de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En contextos probabilísticos, serán conducidas por las trayectorias aleatorias irregulares y en general densamente discontinuas del proceso estocástico típico. Pueden pensarse como una versión multiparamétrica del método de cambio de tiempo (de Volkonskii) y en esta plática nos enfocaremos en una teoría trayectorial para las mismas. Las ecuaciones de cambio de tiempo dan lugar a resultados profundos sobre existencia y unicidad débil de ecuaciones diferenciales estocásticas y admiten una teoría de aproximación robusta. Sin embargo, las ecuaciones de cambio de tiempo no están restringidas a contextos markovianos o de semimartingalas.

En esta plática, veremos algunos ejemplos de ecuaciones de cambio de tiempo que se pueden analizar con éxito como: los procesos afines (multidimensionales), los procesos de Lévy pegajosos, o la propuesta (básicamente desconocida) de Doeblin para procesos de difusión. También veremos algunos problemas abiertos que sugieren los ejemplos.

La conexión entre la estructura molecular de los materiales y las propiedades derivadas de sus diferentes representaciones ha sido un tema de gran interés tanto en teoría como en la práctica. En este contexto, los índices topológicos de gráficas se presentan como herramientas esenciales, ya que permiten sintetizar la información topológico-estructural de una molécula y han demostrado estar relacionados con diversas propiedades físicas de los materiales, como el punto de ebullición, la tensión superficial, entre otras. Además, estos invariantes han encontrado aplicaciones en áreas como la lingüística computacional, la ecología, la comunicación por satélite, el reconocimiento facial, el análisis y procesamiento de imágenes, entre otros. Hoy en día, dichos invariantes se estudian tanto en estructuras deterministas como aleatorias, en función de las necesidades prácticas. Con base en esto, esta charla brindará una introducción a los índices topológicos, explorando la teoría subyacente y mostrando su aplicación mediante dos ejemplos concretos en modelos de gráficas aleatorias.

We study solutions of the irregular Stratonovich SDE. In particular we construct solutions spending positive time in 0, describe solutions spending zero time in 0, and show how a particular physically natural solution can be singled out by means of an additional external ambient noise.

This talk is based on the joint works with G. Shevchenko (Kiev).

Las envolventes convexas de procesos de Lévy ha sido un tema de estudio extensivo a lo largo de algunas décadas. Aunque muchos estudios se enfocan en los volúmenes intrínsecos y sus comportamientos límite, las características ''delicadas'' como lo es la diferenciabilidad o la falta de esquinas ha eludido el estudio salvo en el caso browniano (Cranston & Hsu & March, 1989 y Alexander & Eldan, 2019) o la envolvente espacio-temporal de un proceso Cauchy (Bertoin, 2000). Recientemente se obtuvo una descripción casi exhaustiva de cuándo la envolvente convexa espacio-temporal de un proceso de Lévy es suave y también qué tan suave es (GC & Mijatovic & Kramer-Bang, 2024). Avances recientes han mostrado que las técnicas unidimensionales pueden dar condiciones suficientes para que la envolvente convexa espacial de un proceso de Lévy no tenga esquinas. (Esto es trabajo conjunto con Loïc Chaumont y Aleksandar Mijatovic.)

We consider a branching Brownian motion model of a population evolving under selective pressure. The rate at which a particle branches is determined by the particle’s position relative to the average of the population. Individuals that are more fit than average split in two, while individuals that are less fit than average die. Our main result describes the behavior of the particle system in the large-population limit by connecting the process to the solution of a nonlocal reaction-diffusion equation. Through this PDE connection, we show that the population’s fitness distribution approximates a Gaussian traveling wave. This talk is based on joint work with Sarah Penington.

We study the asymptotic behaviour of the largest and smallest fragment in self-similar fragmentation processes, which are stochastic processes modelling the evolution of an object breaking apart as time passes.

First we study the simplest possible self-similar fragmentation process. The process starts at time zero with a single fragment of size 1, which has an exp(1) lifetime before splitting into two fragments of size 1/2. Thereafter, for a parameter q<1, a fragment of size $2^{-n}$ has an $exp(q^n)$ lifetime before splitting into two fragments of sizes $2^{-n-1}$. We find that at large times the sizes of the largest and smallest fragment in the system can be characterised with high probability to specific integer powers of 1/2. Our approach draws on connections with branching random walks, point processes and q-combinatorics.

We close the talk by discussing some recent work on infinite activity fragmentation processes, where all fragments in the system continuously (but randomly) crumble in time.

This is joint work with Piotr Dyszewski, Nina Gantert, Sandra Palau, Joscha Prochno and Dominik Schmid.

Primero daremos algunos elementos intuitivos de dos modelos clásicos con ambiente aleatorio, la caminata de Sinai y la difusión de Brox; el primero en tiempo discreto y el segundo en tiempo continuo. Esto para presentar nuestros resultados al respecto. Hablaremos también de otros modelos relacionados, uno con aplicaciones en finanzas y otro de un sistema de interacción de partículas.

En genética poblacional, física y modelación estocástica es importante estudiar el tamaño de poblaciones que evolucionan mediante ramificación. En esta charla iniciaré hablando de los modelos más básicos que han sido construidos con ese fin, los procesos de Bienaymé-Galton-Watson (BGW). Luego hablaré de los procesos que resultan de re-escalar el tiempo y el espacio y que dan lugares a los procesos de ramificación con inmigración continuous (CBI). Hablaré de sus propiedades y en particular del problema de extinción. En todos estos modelos se asume que no hay interacción entre los individuos. En la segunda parte de la charla hablaré de los procesos de ramificación logísticos, que sirven para modelar poblaciones en los que se asume que los pares de individuos compiten. Nuestro principal objetivo es hablar sobre la extinción de estas poblaciones y una forma de introducir el proceso condicionado a evitar la extinción. Veremos de qué forma se relacionan los procesos de ramificación logísticos condicionados a no extinguirse y los procesos de ramificación con inmigración.