This talk is based on a surprising property of heat equations with noise: depending on the noise coefficient, their solutions may have compact support, unlike their deterministic counterparts. I will first discuss some classical theorems of this type when the equation has white Gaussian noise, and then discuss a recent result which proves the compact support property for a class of stochastic heat equations with stable noise. Along the way we will develop some heuristics for why this property holds, sketch some proof techniques, and perhaps see what all this has to do with a class of spatial branching processes called superprocesses.

La Inteligencia Artificial ha tenido un auge sin precedentes en los últimos tiempos. Pero el gran impacto de la Inteligencia Artificial no hubiera sido posible sin la introducción de los modelos probabilísticos, planteados en trabajos como los de Judea Pearl en los 80s. Esta plática pretende dar una introducción a los modelos probabilísticos, con especial enfoque en los modelos gráficos, que incluyen una familia de algoritmos basados en explotar propiedades probabilísticas de los datos. Entre estos algoritmos se encuentran varios de los más conocidos en el área: redes bayesianas, campos aleatorios condicionales y redes neuronales. Estos algoritmos han tenido un impacto en las herramientas que hoy usamos constantemente, como los traductores automáticos, los asistentes de voz (como Siri), o los modelos generativos como Dall-E o ChatGPT.

La teoría clásica de la derivación de flujos estocásticos tiene diversas aplicaciones en matemáticas aplicadas. En los últimos 20 años se ha desarrollado la derivación de procesos multidimensionales reflejados en fronteras de conjuntos regulares y poliedros debido a la propiedad Lipschitz de la solución del problema de Skorohod con respecto a los datos iniciales. Esta teoría no permite la derivación de variables aleatorias o procesos aún menos regulares tales como un tiempo de paro o el camino de una difusión antes que toque una frontera.

Intentaremos explicar cómo deducir fórmulas que indiquen la existencia de tales derivadas en sentido débil de manera que son extensión natural de los resultados existentes.

Default implementations of Bayesian Additive Regression Trees (BART) represent categorical predictors using several binary indicators, one for each level of each categorical predictor. Regression trees built with these indicators partition the levels using a “remove one a time strategy.” Unfortunately, an overwhelming majority of partitions of the levels cannot be built with this strategy, severely limiting BART's ability to “borrow strength” across groups of levels. We overcome this limitation with a new class of regression trees built around decision rules based on linear combinations of these indicators. Motivated by spatial applications with areal data, we introduce a further decision rule prior that partitions the areas into spatially contiguous regions by deleting edges from random spanning trees of a suitably defined network. We implemented our new regression tree priors in the flexBART package, which, compared to existing implementations, often yields improved out-of-sample predictive performance without much additional computational burden. We will conclude by describing how the flexBART implementation can be further extended to fit BART models over much more general input spaces. A preprint describing this work is available at https://arxiv.org/abs/2211.04459.

En esta charla describiremos un algoritmo para generar bosques Bienaymé-Galton-Watson multitipo (MBGW) condicionados a un tamaño por tipos dado, generalizando el algoritmo de Devroye (1988). Para ello, se requiere generalizar los conceptos de codificación de bosques, bosques multitipo con sucesión de grados dados, la transformación de Vervaat, y la ley conjunta de los tamaños por tipo de un bosque MBGW. Cada uno de esos resultados es interesante por su cuenta, debido a su relación en áreas como:

• Gráficas aleatorias. Árboles condicionados por tamaño aparecen en el análisis de la gráfica de Erdos–Rényi.
• Teoría de fluctuaciones de procesos estocásticos. La contraparte continua ha sido recientemente estudiada por Chaumont y otros autores, en el contexto de campos de Lévy aditivos espectralmente positivos.
• Árboles reales. Se espera que al rescalar nuestro modelo, se obtenga la generalización del Continuum Random Tree de Aldous, al caso multitipo.
• Combinatoria. Nuestros resultados nos permiten obtener fórmulas para el número de bosques multitipo con tamaños dados, que son binarios, etiquetados, o planos.

En esta charla daré una intuición sobre los conceptos básicos para la formulación de estrategias de control en enfermedades infecciosas, tales como vacunación, contingencia y movilidad, entre otras. Posteriormente, expondré las razones por las cuales es importante considerar la incertidumbre como un aspecto fundamental en la formulación de problemas secuenciales de decisión. Luego, motivado por los avances en el aprendizaje reforzado, compartiré mi perspectiva sobre la importancia de dirigir la atención hacia aplicaciones donde el modelado dirigido por datos es crucial. El objetivo de esta charla pretende establecer posibles líneas de colaboración en donde distintas áreas de matemática aplicada como Probabilidad, Ciencias de la Computación y Modelación matemática tienen una muy importante intersección en Epidemiología.

Presentaré unos resultados antiguos y recientes sobre cuándo y cómo la envolvente convexa de un proceso de Lévy es suave. El caso del Browniano espacial en $d$-dimensiones es viejo y su prueba dependía mucho de teoría de potencial y ciertas identidades que son muy complicadas de extender. El caso del proceso Cauchy contra el tiempo, se utiliza la autosimilitud lineal exclusiva del proceso Cauchy. En estudios más recientes, se pudo caracterizar, casi por completo, este fenómeno en el caso de un proceso de Lévy contra el tiempo usando la descomposición de stick-breaking. En avances más recientes, en colaboración con Aleksandar Mijatović y Loïc Chaumont, hemos podido empujar estos métodos al caso espacial $d$-dimensional.

Las enfermedades en los cultivos presentan un riesgo importante para el productor, tales reducir la cosecha, menor calidad y limitan la disponibilidad de materia prima. En esta charla formulamos un modelo estocástico vector-host para la enfermedad del virus del rizo amarillo en el tomate. Analizamos la dinámica del modelo y verificamos nuestros resultados con simulaciones numéricas. Probamos que el modelo presenta extinción o persistencia vía las intensidades de ruido.