Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
León 2, altos, Oaxaca de Juárez
Centro Histórico
68000 Oaxaca, Mexico.
Office: sede Martires de Tacubaya 505a
Email: lara (at) im.unam.mx
Proyectos finales:
Les invitamos cordialmente al mini-taller en línea sobre "Álegbras de conglomerado" los días 24 y 26 de noviembre de 2021.
En estos días, los alumnos del
curso "Álgebras de conglomerado" del semestre 2022-1 presentarán sus proyectos finales.
Los proyectos se inspiran en los propuestos en el apéndice de los
apuntes del curso, pero cada alumno ha decidido
individualmente en que dirección quiere profundizar. Así, las presentaciones individuales reflejan el interés individual de cada estudiante.
Las presentaciones duran 40 minutos, con 10 minutos entre cada presentación para preguntas o debates. Todas las presentaciones están en zoom;
para acceder a ellas, póngase en contacto con uno de los estudiantes o con Lara Bossinger.
El horario es de la CMDX:
- 24/11/2021:
- 13:30 Suzanne Huaringa, Título: Triangulaciones de superficies
Resumen: Una superficie con puntos marcados es un par (S,M) que consiste de una superficie de Riemann 2-dimensional
orientada, conexa S con borde (posiblemente vacio), y un subconjunto finito no vacio M de S con al menos un
punto en cada componente conexa del borde de S. Trabajaremos con triangulaciones de (S,M). El conjunto M será
ahora el conjunto de vertices para las triangulaciones. Introducimos las nociones de arcos ordinarios, isotopia
relativa a M, compatibilidad de pares de arcos ordinarios y de pares de clases de isotopia relativa a M de
arcos ordinarios. La nocion de triangulacion es introducida como un conjunto maximal de (clases de isotopia
relativa a M) arcos compatibles dos a dos.
video
- 14:20 Juan Daniel Valdivia Fuentes, Título: Algebras de conglomerado en superficies, bases y potenciales
Resumen: En esta pequeña exposición estudiaremos someramente la estructura de conglomerado en una superficie.
Usando grafos serpientes vamos a poder describir nuestras variables de conglomerado y definir una base
para el álgebra. Además siguiendo en esta línea, introducimos el concepto de potencial y de álgebra
Jacobiana J(T), con la ayuda de los grafos anteriores y el uso de módulos indescomponibles del álgebra
podemos describir el espacio exterior de J(T).
video
- 26/11/2021:
- 10:30 Jorge Santos, Título: De las gráficas plabic a la Grassmaniana a los matroides y las
particiones que no se cruzan
Resumen: En está plática veremos como las gráficas plabic están en biyección con la Grasmaniana y los
matroides (los matroides generalizan el concepto de independencia lineal en un espacio vectorial).
Daremos un algoritmo que relaciona una gráfica plábica a la Grassmaniana G(2,n) (las cuales están en
biyección con las triangulaciones de un n-3-ágono); como también, veremos como las gráficas plábic se
relacionan con los matroides (con cierto tipo de positividad total) y cómo las componentes conexas de este
último forman particiones que no se cruzan. Las particiones que no se cruzan juegan un papel fundamental
para la combinatoria de la probabilidad libre (Free Probability) introducida por Dan Voicolescu.
video, slides
- 11:20 Carolina Melo, Título: g-vectores de coordenadas de Plücker
Resumen: Fomin y Zelevisnky estudiaron en [2] los coeficientes en álgebras de conglomerado, en particular,
ellos introdujeron el concepto de coeficientes principales, el cual es de gran relevancia en la teoría de
álgebras de conglomerado y permite asociar a cada variable de conglomerado un g-vector el cual depende de
una semilla fija. En el caso de las Grassmannianas, las variables de conglomerado corresponden a variables
de Plücker, las cuales están en correspondencia a su vez con diagramas de Young, y las semillas están en
correspondencia con las triangulaciones del n-ágono, las cuales se pueden asociar a unos grafos en particular,
llamados gráficas plábicas.
El propósito de esta exposición será mostrar cómo se pueden calcular los g-vectores de coordenadas de
Plücker con respecto a la semilla dada por una gráfica plábica rectangular, en términos de sus
correspondientes diagramas de Young. Para ello, se usará una definición combinatoria en términos de
árboles de los g-vectores asociados a las coordenadas de Plücker con respecto a una triangulación T,
dada por Bossinger, Mohammadi y Nájera Chávez en [1].
- Lara Bossinger, Fatemeh Mohammadi, and Alfredo Nájera Chávez. Families of Gröbner Degenerations,
Grassmannians and Universal Cluster Algebras. SIGMA, 17 (2021), 059, 46 pp.
- Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky, Cluster algebras IV. Coefficients, Compos. Math. 143 (2007), 112-164.
- Alexander Postnikov. Total positivity, Grassmannians, and networks. arXiv preprint arXiv:math/0609764,
https://arxiv.org/pdf/math/0609764.pdf, 2006.
- Konstanze Rietsch and Lauren Williams. Newton-Okounkov bodies, cluster duality, and mirror symmetry for
Grassmannians. Duke Math. J. 168 (2019), no. 18, 3437-3527, arXiv:1712.00447
video, slides
- 12:10 Otto Hector, Título: Visualizando fibras de Milnor con coamibas
Resumen: En esta plática repasamos los conceptos de amiba y coamiba de una curva algebraica.
Existen algoritmos que, bajo ciertas condiciones, permiten asociar gráficas bi-coloreadas en el toro
a las coamibas. Veremos que estas ideas son útiles para estudiar fibraciones cuyas aureolas
son enlaces toroidales.
- 13:00 Sergio Gómez, Título: Variedades de conglomerado
Resumen: En está plática vamos a recordar brevemente los conceptos esenciales de las variedades de
conglomerado, y posteriormente vamos a generalizar estos conceptos utilizando la noción de Y-patrones con
coeficientes, lo que tiene como contraparte geométrica las variedades de conglomerado con coeficientes.
Un aspecto interesante de estas variedades, es que las partes afines dan lugar a una familia de morfismos
planos al espacio afín (o a C*). Usando esto último, veremos que existe una relación muy interesante entre
la fibra especial de la X variedad de conglomerado con coeficientes y una variedad tórica determinada por
un abanico. La referencia principal para esta plática es
- Lara Bossinger, Bosco Frías-Medina, Timothy Magee, and Alfredo Nájera Chávez.
Toric degenerations of cluster varieties and cluster duality. Compos. Math., 156(10):2149-2206, 2020
video, slides