Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
León 2, altos, Oaxaca de Juárez
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Lara Bossinger

Miércoles 14:00 - 15:00 y viernes 11:00 - 13:00 (horario de la CDMX) en zoom

Ojo: el 31 de octubre cambiamos al horario de invierno en México de UTC -5 a UTC -6

Resumen:

Las álgebras de conglomerado son un área joven del álgebra conmutativa. En el año 2001 Sergei Fomin y Andrei Zelevinsky las descubrieron en la teoría de representaciones, los grupos cuánticos y la teoría de positividad total. Aunque su origen es algebraico y combinatorio, las álgebras de conglomerado hoy en día se encuentran en varios áreas de las matemáticas y la física. Por ejemplo, en triangulaciones de superficies, en singularidades, en nudos y grupos de trenzas, teoría de números, producen degeneraciones tóricas, en la geometría tropical, en ecuaciones diferenciales como la ecuación de Kadomtsev--Petviashvili, en la teoría de Teichm\"uller y la teoría de Gr\"obner, entre muchas otras. Es un área joven y expansiva de las matemáticas. Conociendo las álgebras de conglomerado uno llega muy pronto a la frontera del conocimiento y a preguntas abiertas que ofrecen una entrada a la investigación.

En la primera parte del curso vamos a ver las definiciones básicas y las propiedades de las álgebras de conglomerado. Por ejemplo, vamos a elaborar la clasificación de los álgebras de conglomerado de \emph{tipo finito} y el \emph{fenómeno de Laurent}. En la segunda parte nos dedicaremos a algunas aplicaciones de las álgebras de conglomerado, por ejemplo su conexión a las Grassmannianas, a la combinatoria de triangulaciones del $n$-ágono y como uno puede construir valuaciones y degeneraciones tóricas usando álgebras de conglomerado.

Requisitos:

Álgebra moderna (necesario) y álgebra conmutativa (recomendable).

Bibliografia:

Temario

Notas:

Las notas actuales se encuentran aquí.

Videos:

Tareas:

Las tareas son los ejercicios que se encuentran en las notas hasta la fecha de la entrega.

Proyectos finales:

Cada estudiante puede escoger un proyecto de la lista que se encuentra en el appendice de las notas y trabajarlo solo o en equipo. En la última semana del semestre los estudiantes pueden presentan sus resultados en forma de una charla o en un ensayo. Fecha límite para escoger un proyecto es el 8/10/2021. En la primera semana de noviembre tenemos reuniones sobre el estado de los proyectos: En la última semana del semestre tenemos las presentaciones de los proyectos, más información