Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
León 2, altos, Oaxaca de Juárez
Centro Histórico
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Lara Bossinger
Miércoles 14:00 - 15:00 y viernes 11:00 - 13:00 (horario de la CDMX) en zoom
Ojo: el 31 de octubre cambiamos al horario de invierno en México de UTC -5 a UTC -6
Resumen:
Las álgebras de conglomerado son un área joven del álgebra conmutativa.
En el año 2001 Sergei Fomin y Andrei Zelevinsky las descubrieron en la teoría de representaciones, los grupos cuánticos y la teoría de positividad total.
Aunque su origen es algebraico y combinatorio, las álgebras de conglomerado hoy en día se encuentran en varios áreas de las matemáticas y la física.
Por ejemplo, en triangulaciones de superficies, en singularidades, en nudos y grupos de trenzas, teoría de números, producen degeneraciones tóricas, en la geometría tropical, en ecuaciones diferenciales como la ecuación de Kadomtsev--Petviashvili, en la teoría de Teichm\"uller y la teoría de Gr\"obner, entre muchas otras.
Es un área joven y expansiva de las matemáticas. Conociendo las álgebras de conglomerado uno llega muy pronto a la frontera del conocimiento y a preguntas abiertas que ofrecen una entrada a la investigación.
En la primera parte del curso vamos a ver las definiciones básicas y las propiedades de las álgebras de conglomerado. Por ejemplo, vamos a elaborar la clasificación de los álgebras de conglomerado de \emph{tipo finito} y el \emph{fenómeno de Laurent}. En la segunda parte nos dedicaremos a algunas aplicaciones de las álgebras de conglomerado, por ejemplo su conexión a las Grassmannianas, a la combinatoria de triangulaciones del $n$-ágono y como uno puede construir valuaciones y degeneraciones tóricas usando álgebras de conglomerado.
Requisitos:
Álgebra moderna (necesario) y álgebra conmutativa (recomendable).
Bibliografia:
- [FZ1] Sergei Fomin y Andrei Zelevinsky. Cluster algebras I: Foundations, arxiv
- [FZ2] Sergei Fomin y Andrei Zelevinsky. Cluster algebras II: Finite type classification, arxiv
- [FZ4] Sergei Fomin y Andrei Zelevinsky. Cluster algebras IV: Coefficients, arxiv
- [FWZ] Sergei Fomin, Lauren Williams y Andrei Zelevinsky. Introduction to cluster algebras, capítulos 1-3, capítulos 4-5, capítulo 6 y capítulo 7
- [M] Robert J. Marsh. Lecture notes on clustre algebras, EMS Zurich Lectures in Advanced Mathematics Volume: 19; 2014; 122 pp; ISBN: 978-3-03719-130-9
- [NZ] Tomoki Nakanishi y Andrei Zelevisnky. On tropical dualities in cluster algebras, arxiv
- [GHK] Mark Gross, Paul Hacking y Sean Keel. Birational geometry of cluster algebras, arxiv
- [GHKK] Mark Gross, Paul Hacking, Sean Keel y Maxim Kontsevich. Canonical bases for cluster algebras, arxiv
Temario
- Motivación:
- Historia
- Grecas o frisos de Coxeter-Conway
- Positividad total
- Conceptos básicos:
- Mutación de carcaj y semillas
- El fenómeno de Laurent
- Clasificación de tipo finito
- Dualidad:
- Semicampos
- Y-patrones
- Coeficientes y g-vectores
- Grassmannianas:
- Plabic graphs
- Coordenadas de Plücker
- Cuerpos de Newton--Okounkov
Notas:
Las notas actuales se encuentran
aquí.
Videos:
- Plática panorámica: video
- 13/08/2021:
§1.2 Primeros ejemplos y §1.3.1 Positividad total de matrices: video,
§1.3.2 La Grassmannaina totalmente positiva: video,
§2.1 Carcajes y su mutación: video
- 18/08/2021:
§2.1.1 Triangulaciones y carcajes, y §2.1.2 Equivalencia de carcajes: video
- 20/08/2021:
§2.2 Matrices y su mutación: video
§2.3 Semillas y su mutación: video Cuidado: hubo un error en el Ejemplo 2.45, para la correción ve el video 1 del 25/08/2021
- 25/08/2021:
§2.3.1 Álgebras de conglomerado y §2.4 Ejemplos de rango 2: video 1,video 2
- 27/08/2021:
§3 El fenómeno de Laurent: video 1, video 2
- 01/09/2021:
§3.3.1 A-variedades de conglomerado: video
- 03/09/2021:
Ejercicios de las seciones §1 - §3.2: ver
- 08/09/2021:
continuación de la §3.3.1 A-variedades de conglomerado: video
- 10/09/2021:
§4.1 Subálgebras de conglomerado y §4.2 Plegar carcajes: video 1, video 2
- 17/09/2021:
§4.3 Matrices de Cartan y Diagramas de Dynkin y §4.4 Tipo A: video 1, video 2
- 22/09/2021:
§4.5 Tipo C: video
- 29/09/2021:
§4.6 Enumeración y tipo 2-finito: video
- 01/10/2021:
§4.6.1-2 Los árbolas y los ciclos, y §5.1 Semicampos: video 1, video 2
- 06/10/2021:
§5.2 Y-patrones y álgebras de conglomerado con coeficientes: video
- 08/10/2021:
§5.2 Y-patrones y álgebras de conglomerado con coeficientes y §5.3 Formula de separación: video 1, video 2
- 13/10/2021:
§5.4 F-polinomios, g-vectores y c-vectores: video
- 15/10/2021:
§5.4 y § 5.5 El g-abanico: video 1, video 2
- 20/10/21:
§6.1 Las variedades A y X: video
- 27/10/21:
§6.1 Las variedades A y X: video
- 29/10/21:
§6.2 Mapeos de ensamble de conglomerado: video 1, video 2
- 10/11/21:
§7 Grassmannianas: §7.1 Realización geométrica de álgebras de conglomerado: video
- 12/11/21:
§7.2 Gráficas plabic: video 1, video2
- 17/11/21:
Ejercicios La tropicalización de variedades de conglomerado y la dualidad de Langlands: video
- 19/11/21:
§ 7.2 La A-variedad y §7.3 Flujos y la X-variedad: video 1, video 2
Tareas:
Las tareas son los ejercicios que se encuentran en las notas hasta la fecha de la entrega.
- Tarea 1 (ejercicios de las seciones §1 - §3.2) entregar el 01/09/2021, discusión el 03/09/2021
Soluciones de Juan Daniel, Damián, Sergio, Lara
- Tarea 2 (ejercicios de las seciones §3.3 - §4.4) entregar el 22/09/2021, discusión el 24/09/2021
Soluciones de Juan Daniel, Lara
- Tarea 3 (ejercicios de las seciones §4.5 - §5.3.1) entregar el 13/10/2021, discusión el 15/10/2021
Soluciones de Juan Daniel, Lara
- Tarea 4 (ejercicios de las seciones §5.4 - §6.2.1) entregar el 12/11/2021, discusión el 17/11/2021
Soluciones de Lara
Proyectos finales:
Cada estudiante puede escoger un proyecto de la lista que se encuentra en el appendice de las
notas y trabajarlo solo o en equipo.
En la última semana del semestre los estudiantes pueden presentan sus resultados en forma de una charla o en un ensayo.
Fecha límite para escoger un proyecto es el 8/10/2021. En la primera semana de noviembre tenemos reuniones sobre el estado de los proyectos:
- 3/11/2021: 15:00 Suzanne, 15:30 Juan Daniel
- 5/11/2021: 12:00 Carolina, 12:30 Otto y Sergio, 13:15 Jorge
En la última semana del semestre tenemos las presentaciones de los proyectos,
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