Procesos Estocasticos I

Capacitación técnica especializada en el nuevo marco de Solvencia

Comisión Nacional de Seguros y Fianzas

Horario: Martes 16h45-18h30, Auditorio del piso 2, Torre sur, CNSF

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, UNAM, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

  1. Procesos de Markov a tiempo y espacio discreto
  2. Procesos de Poisson
  3. Procesos de Markov a tiempo continuo y espacio discreto
  4. Teoría de renovación

Bibliografía

Procesos de Markov

  1. Markov chains and stochastic stability, S. Meyn and R. L. Tweedie, Cambridge University Press, 2009
  2. Markov chains, J. Norris, Cambridge University Press, 1998
  3. Cadenas de Markov, Un enfoque elemental, M.E. Caballero, V. M. Rivero, G. Uribe Bravo, C. Velarde, Sociedad Matemática Mexicana, 2008
  4. Adventures in Stochastic Processes, S. Resnick, Birkhäuser, 1992
  5. Introduction to the numerical solution of Markov chains, W. Stewart, Princeton University Press, 1994

Teoría de renovación

  1. An introduction to probability theory and its applications Vol II, W. Feller, Ed. Wiley, 1971
  2. Lectures on the coupling method, T. Lindvall, Ed. Dover 1992

Teoría del Riesgo

  1. Risk theory : The stochastic basis of insurance, Beard, Pentikainen, Pesonen, Ed. Chapman y Hall 1984
  2. Modelling extremal events, Embrechts, Kluppelberg, Mikosch, Ed. Springer, 1997

Bitácora

10 de Abril
Ejemplos de procesos estocásticos y código en R para simularlos
Problema de la ruina en la caminata aleatoria simple
Procesos de contéo con tiempos interarribo exponenciales
Existencia de una sucesión de variables Bernoulli independientes
17 de Abril
Existencia de sucesiones de variables aleatorias independientes con distribuciones arbitrarias
Ejemplo: el tiempo de espera en una cola
Comenzamos con cadenas de Markov
Ejemplo: rata en un laberinto
Matriz de transición, distribución inicial, cadena de Markov
La propiedad de Markov
24 de Abril
Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov
Ejemplos de cadenas de Markov: caminata aleatoria simple y cadena de Ehrenfest
Clases de comunicación
Subconjuntos cerrados y abiertos del espacio de estado
Distintas versiones de la propiedad de Markov
Tiempos de paro
8 de Mayo
Ejemplos de tiempos de paro: tiempos de regreso al estado inicial
Propiedad de Markov fuerte
Aplicación: la cantidad de visitas al estado inicial bajo P_x es geométrica
Transitoriedad y recurrencia de estados
Criterio de recurrencia en términos de la matriz de transición
Transitoriedad de clases abiertas
Recurrencia de clases cerradas finitas
15 de Mayo
Análisis de primer paso
El problema de la ruina
Tiempos medios de recurrencia y existencia de medidas invariantes
Distribuciones estacionarias para cadenas de Markov irreducibles finitas
Ejemplo numérico: la cadena de Ehrenfest
22 de Mayo
La distribución invariante de la cadena de Ehrenfest
El algoritmo PageRank de Google
El método de potencias para aproximar distribuciones invariantes
El teorema fundamental de convergencia
Prueba para cadenas regulares
29 de Mayo
El tiempo de aparición de una palabra
Tiempo de primera visita para una cadena de Markov recurrente
Cadenas absorbentes
Lema de absorción de cadenas absorbentes
La matriz fundamental y sus propiedades principales
Ejemplos numéricos de la obtenci&on de matrices funamentales
5 de Junio
Tarea 1: Cadenas de Markov
Teoría de renovación:
Tiempos entre sucesos, tiempos de renovación, proceso de contéo asociado, tiempos residuales, edad y tiempos totales
Ley fuerte de los grandes números para procesos de renovación
La función de renovación
Teorema de renovación elemental
Carácter Markoviano del proceso de tiempos residuales en el caso aritmético
12 de Junio
El proceso Bernoulli
El teorema de Renovación para procesos aritméticos (Erdös-Feller-Pollard)
La ecuación de renovación
El teorema de renovación clave
19 de Junio
Procesos de contéo
Procesos con incrementos independientes y estacionarios
Procesos de Poisson y su relación con proceso de renovación
El proceso de Poisson compuesto
26 de Junio
El proceso de renovación asociado a variables exponenciales iid es un proceso de Poisson
14 de Agosto
Las propiedades de Markov y de Markov fuerte del proceso de Poisson
El proceso de Poisson es un proceso de renovación
21 de Agosto
Propiedad de Markov del proceso de Poisson compuesto
El problema de la ruina
El proceso de Poisson inhomogéneo
28 de Agosto
El proceso de Poisson que comienza en k>0
Probabilidades y semigrupo de transición
El proceso de nacimiento y muerte
El fenómeno de explosión
Tarea 2. Fecha de entrega: 18 de Septiembre
11 de Septiembre
El mínimo de variables aleatorias exponenciales
El espacio canónico de funciones constantes por pedazos
Familias Markovianas
18 de Septiembre
Cadenas de Markov cambiadas de tiempo con el proceso de Poisson
25 de Septiembre
Construcción de procesos de Markov a tiempo continuo mediante tasas de transición
Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov
La matriz infinitesimal
Ecuaciones de Kolmogorov
Tarea 3
2 de Octubre
Caracterizacion de las cadenas de Marklov a tiempo continuo
Distribuciones invariantes
El teorema fundamental de convergencia
9 de Octubre
Repaso general
16 de Octubre
Evaluación general escrita

Notas y código R

  1. Versión actualizada el 25 de Septiembre del 2012 a las 15h25: CNSF.pdf
  2. Ruina.R
  3. Prisa.R
  4. Cola.R
  5. Poisson.R
  6. Rata.R
  7. CAS1.R
  8. CASnPasos.R
  9. Ehrenfest.R
  10. Ruina2.R
  11. EhrenfestMatrix.R
  12. PageRank.R
  13. Palabra.R
  14. PalabraFundamental.R
  15. LaberintoFundamental.R
  16. EcuacionRenovacion.R
  17. Poisson2.R
  18. PoissonCompuesto.R
  19. PoissonConUniformes.R
  20. RuinaPoissonCompuesto.R
  21. PoissonInhomogeneo.R
  22. NacimientoYMuerte.R
  23. QCadena2Estados.R
  24. QCadena3Estados.R
  25. QCadena3EstadosConMinimo.R
  26. simuCTMCvpiOcu.R
  27. ocupacionCTMC.R