Procesos Estocásticos II

Procesos Estocasticos II

Diplomado en Riesgos

Comisión Nacional de Seguros y Fianzas

Horario: Martes 17h-19h, Auditorio del piso 2, Torre sur, CNSF

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, UNAM, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

Martingalas
Movimiento browniano
Integración estocástica

Bibliografía

Procesos estocásticos y martingalas

Notas del curso (Última actualización: 09/05/2017, 8h)
Probability essentials, Jean Jacod y Philip Protter, 2nd ed., Springer, 2003
Probability with martingales, David Williams, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991
Probability: Theory and examples, Richard Durret, 4th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2010

Movimiento browniano

Brownian motion, Peter Morters y Yuval Peres, Cambridge University Press, 2010

Integración estocástica

Elementary stochastic calculus-with finance in view, Thomas Mikosch, World Scientific Publishing, 1998

Bitácora

9 de Mayo: Recordatorio: esperanza condicional respecto de una sigma-álgebra; Propiedades de la esperanza condicional

11 de Mayo: Teoremas importantes relativos a la esperanza condicional:; Teorema de convergencia monónona; Lema de Fatou; Teorema de convergencia dominada; Ejemplos de cálculo de esperanzas condicionales:; Sumas de variables aleatorias independientes; Productos de variables aleatorias independientes; Tarea: Ejercicios 1 y 2 en onenote

16 de Mayo: Definición de martingala; Ejemplos de martingalas:; Martingala exponencial para la caminata aleatoria simple; Dos martingalas para procesos de Galton-Watson; Planteamiento del modelo de urnas de Pólya

17 de Mayo

Urnas de Polya

Análisis mediante simulación: realizamos el código Polya1.R

Martingalas en urnas de Pólya

23 de Mayo: Conceptos importantes sobre martingalas:; Diferencias de martingalas, procesos predecibles; Transformada de una martingala por un proceso predecible; Interpretación: estrategias de apuesta

25 de Mayo: Tiempos de paro; El teorema de muestreo opcional; Aplicación al problema de la ruina

30 de Mayo: La desigualdad maximal de Doob; La desigualdad de cruces de Doob; Interpretación en términos de esquemas de apuestas; El teorema de convergencia de martingalas

1 de Junio: Ejemplos del teorema de convergencia de martingalas; La cadena de Wright-Fisher; Urnas de Pólya; Extinción casi segura de procesos de Galton-Watson críticos

29 de Junio: Primer examen parcial

4 de Julio: Corrección al primer examen parcial; Motivación: el movimiento browniano como límite de caminatas aleatorias; Un teorema límite motivado por la simulación del máximo de la CASS

6 de Julio: Un teorema límite motivado por la simulación del tiempo que la CASS es positiva; Un poco de historia sobre el movimiento browniano

11 de Julio: El movimiento browniano como límite: la difusión de Feller; El proceso de Ornstein-Uhlenbeck; Definición de movimiento browniano; Martingalas asociadas

13 de Julio: Recordatorio sobre la distribución gaussiana; Vectores y procesos gaussianos: funciones de media y de autocorrelación; El movimiento browniano como proceso gaussiano

18 de Julio: Propiedades del movimiento browniano; Simetría, homogeneidad temporal, autosimilitud, inversión temporal

20 de Julio: Algunos procesos estocásticos asociados al movimiento browniano; La propiedad de Markov fuerte; Consecuencias: el principio de reflexión, subordinadores estables y cálculos explícitos

23 de Julio: Preliminares y heurística sobre integración e integración estocástica; Interpretación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas

25 de Julio: La integral de Lebesgue-Stieltjes y algunas propiedades; Asociatividad, fórmula de integración por partes y regla de la cadena

27 de Julio: Variacion y p-variación de una función; experimentos numéricos alrededor de la integral de Lebesgue Stieltjes; Comparación con el movimiento browniano

1 de Agosto: El proceso de Ornstein-Uhlenbeck estacionario; La integral estocástica; Experimentos numéricos

Notas de clase y código R