HOME

Grupoides en Topología

Índice

Aviso

Tareas

  Tarea Fecha de entrega
1 Ejemplos de categorías Lunes, 12 de febrero
2 Coproductos amalgamados y temas afines Jueves, 8 de marzo
3 Aplicaciones de Seifert-van Kampen Viernes, 23 de marzo
4 Espacios cubrientes Lunes, 30 de abril

Descripción

Estudiaremos en detalle la teoría del grupoide fundamental, que para mi gusto es más simple y uniforme que la del grupo fundamental. Para esto se necesita un poco de teoría de categorías, pero no es necesario saber nada de eso de antemano: cubriremos el material necesario sobre la marcha. El único prerequisito es un poco de conocimiento de topología, bastante menos de lo que se aprende en un curso del tema. Los alumnos que sepan que son abiertos, cerrados, compactos y funciones continuas, al menos para subconjuntos de espacios euclideanos, no tendrán problema.

Los temas principales a tratar son:

Teorema de van Kampen y sus aplicaciones.
La versión para el grupoide fundamental es más poderosa que la versión clásica para el grupo fundamental, por ejemplo, lo usaremos para demostrar el Teorema de la Curva de Jordan.
Teoría de espacios cubrientes.
Incluiremos morfismos entre cubrientes, algo que con frecuencia se omite de una primer introducción. Veremos que hay una categoría de cubrientes de un espacio X y que es equivalente a la categoría de funtores del grupoide fundamental a la categoría de conjuntos.

Otros posibles temas:

Grupoide fundamental del espacio de órbitas de un acción.
Otro resultado que no tiene análogo directo para el grupo fundamental.
La equivalencia entre grupoides y 1-tipos.
Un 1-tipo es un espacio topológico cuyos grupos de homotopía del segundo en adelante se anulan. Para estos espacios el grupoide fundamental captura toda la información homotópica y vuelve se estudio una cuestión algebraica.

Bibliografía

Vivimos en un época maravillosa donde puedo recomendar puros libros disponibles gratuitamente en Internet en las páginas de sus autores.

  • Ronald Brown, Topology and Groupoids. Este es un libro de texto para un primer curso de topología, con enfásis en el grupoide fundamental. Nos enfocaremos en los capítulos 6, 9, 10 y 11 —pero los capítulos iniciales podrían servir para consultar conceptos y resultados de topología general.
  • Mis notas sobre el Teorema de van Kampen y sus aplicaciones. (En inglés, por motivos históricos).

Para más sobre teoría de categorías recomiendo:

Para más sobre topología algebraica recomiendo dos libros muy diferentes entre sí (o sea que si uno no les gusta, no supongan que el otro tampoco les va a gustar).

Logística

Horario

Clase Martes, Miércoles, Viernes 9am-10am Salón P106
Ayudantía Lunes, Jueves 9am-10am Salón P106

La ayudantía está a cargo de Macarena Robles.

Calificación

El seminario se calificará con tareas (65%) y una exposición al final del semestre (el otro 35%).

Probablemente habrá 5 o 6 tareas, con un promedio de dos semanas para hacer cada una.

Acompañando la exposición deberán escribir un texto expositorio breve del tema que expongan.


1

Debo confesar que el de Riehl me parece bastante más divertido y emocionante.

Omar Antolín Camarena