We propose a numerical solution for the solution of the Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equations associated to stochastic partial differential equations in Hilbert spaces. The method is based on the spectral decomposition of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup associated to the Kolmogorov equation. This allows us to write the solution of the Kolmogorov equation as a deterministic version of the Wiener-Chaos Expansion. By using this expansion we reformulate the Kolmogorov equation as a infinite system of ordinary differential equations and by truncation, we set a linear finite system of differential equations. The solution of such system allows us to build an approximation to the solution of the Kolmogorov equations. We will apply the numerical method to the Kolmogorov equations associated to a stochastic diffusion equation, a Fisher-KPP stochastic equation and the stochastic Burgers Eq. in dimension 1.

The study of search strategies has unleashed a huge interest in the last few years due to their several applications in many areas of science. In ecology, one of the most common approach to modelling searching techniques is by random walks (RW). The Markovian random walk is the main model to describe the animal and human movement providing useful results in short time scales. Recent experimental observations have shown that the animals, like humans, have sophisticated cognitive abilities that allow them to return to places out of their vision range. This use of long- range memory has several effects on the dynamic of the movement like: emergence of routines (home range behavior or “site fidelity”), heterogeneous space use and very slow diffusion. Due to the use of memory, the Markovian approach is no longer accurate. In order to obtain a better characterization of the animal movement, a different kind of random walk (RW) has been developed: non-Markovian RW's, RW's with resetting and reinforced RW's. We propose a model of a RW that stochastically rests to already visited sites in a d-dimensional lattice containing one inhomogeneity, or resource site. Owing the reinforcement effects, the model exhibits a phase transition between diffusive states and stationary states localized around the inhomogeneity as the strength of memory, or resetting rate, crosses a critical value.

In this talk we will introduce a generalisation of the Wright Fisher model, for a population with finite size and non-overlapping generations, allowing for several types of selection as well as simultaneous multiple mergers. The construction provides an almost sure dual relation between its frequency process and its ancestral process. The latter can be interpreted as a discrete analogue to the celebrated ancestral selection graph. We will also study a two type frequency process with general selection and general coalescent mechanism, and investigates in which cases the selective type goes to fixation with probability one. (This is talk is based in a joint project with Dario Spano)

En esta charla introduciremos una generalización del proceso de ramificación a estados continuos con crecimento logístico: los procesos de ramificación con competencia. Estos describen la evolución de poblaciones modeladas por procesos de ramificación en las cuales las interacciones entre individuos generan un término negativo que depende de la densidad de población. Usando la construcción de árboles aleatorios continuos asociados con procesos de Lévy generales, dada por J.-F. Le Gall e Y. Le Jan, podemos describir la genealogía de los procesos con competencia a través de una poda "interactiva". Esta descripción nos permite establecer una representación de tipo Ray-Knight de estos procesos en términos de los tiempo locales de los árboles adecuadamente podados. Esta charla está basada en un trabajo conjunto con Julien Berestycki y Joaquín Fontbona.

(Trabajo en conjunto con Leandro Pimentel, Universidade Federal do Rio de Janeiro.)

En esta charla examinaremos las técnicas elementales desarrolladas en [1] para determinar cuándo un proceso con valores reales y continuo tiene una única posición en donde se alcanza el máximo. Posteriormente, mostraremos cómo tales técnicas son robustas y se extienden naturalmente en dos direcciones: para procesos discontinuos y multidimensionales. Como aplicaciones se encuentran la unicidad de la posición donde se alcanza el máximo para procesos de Lévy espectralmente positivos, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck, el proceso Browniano fraccionario, la hoja Browniana (con frontera Browniana) y el movimiento Browniano aditivo.

[1] Pimentel, Leandro P. R. On the location of the maximum of a continuous stochastic process. J. Appl. Probab. 51 (2014), no. 1, 152-161.

En la primera parte de mi charla hablaré sobre una familia de gráficas aleatorias dirigidas que pueden ser útiles para modelar la red de internet, Twitter, ResearchGate, y otras redes sociales. Esta clase de gráficas incluye como caso especial el famoso modelo Erdos-Renyi, pero a diferencia de éste, es capaz de replicar casi cualquier distribución predeterminada para los grados, en particular, distribuciones con colas pesadas como las que predominan en el mundo real. Durante la charla, explicaré las propiedades básicas de esta familia de modelos, incluyendo como pueden ser usados para representar características de los nodos que influencian la conectividad de la red. En la segunda parte de la plática explicaré como el algoritmo de Google, conocido como PageRank, puede ser usado para identificar nodos “centrales” en la red, y presentaré algunos teoremas recientes describiendo la distribución de las resultados, o “rankings”, producidos por el algoritmo. Este trabajo extiende resultados previamente obtenidos para el modelo de configuración. Si el tiempo lo permite, mencionaré algunos problems de simulación estocástica relacionados con el análisis de PageRank.

Entre los supuesto clásicos de los modelos de renovación se encuentra el de independencia entre las renovaciones, el cual es poco realista en diversas aplicaciones. Lo anterior hace que sean útiles los modelos de renovación que incorporen dependencias. En esta plática veremos modelos de renovación con dependencias dadas por procesos intercambiables y mostraremos como se plantean extensiones de la ecuación de renovación para dichos modelos. Nuestro resultado más importante es que la función de renovación intercambiable puede representarse como la solución de un tipo nuevo de ecuaciones: ecuaciones de renovación intercambiables. Nuestros resultados nos permiten extender algunos resultados clásicos y también exhibir los nuevos comportamientos de estos procesos. Bajo estas hipótesis resulta natural ocupar diversas herramientas de la teoría bayesiana para la definir los esquemas de dependencias.

En esta plática presentamos una conjetura de tipo 'teorema de tiempo de paro'. Este tipo de teoremas consideran procesos estocásticos en donde dos propiedades, una condición necesaria de la otra, aparecen al mismo tiempo casi seguramente. Un ejemplo es la relación entre conectividad y ausencia de vértices aislados en el proceso de gráficas de Erdös-Rényi. Dicha conjetura se localiza en el ámbito de teoría de grupos, específicamente, grupos generados por una colección de k caminatas aleatorias en el grupo de permutaciones de orden N. Curiosamente, dichos grupos tienen una relación cercana con el proceso de gráficas de Erdös-Rényi. Más aún, la resolución de la conjetura requerirá de un entendimiento más refinado de estas gráficas prevalentes. En la plática no se asumen conocimientos previos de teoría de grupos, ni de teoremas de tiempo de paro.