The lace expansion is one of the primary tools for proving that probability models in high dimensions have mean field behaviour. I will discuss joint work in progress with David Brydges and Mark Holmes in which we develop a continuous-time lace expansion. As motivation for our methods I will introduce a class of n-component field theories that are generalizations of the Ising model of ferromagnetism. When n is zero, one, or two we are able to analyze these models; our results for the case n=2 are new.

The talk is intented for a general (probabilistic) audience.

En la plática se desarrollará un modelo que describe a una economía donde los conjuntos de agentes y de bienes son espacios métricos. En la economía a describir, los bienes a intercambiar serán bienes-indivisibles, es decir, cada bien se comercializa únicamente como una unidad entera, (un auto, una casa, etc.) y cada agente no usara más de un bien-indivisible. En un estado inicial cada agente será dueño de un bien-indivisible y tendrá como meta realizar un intercambio o "trueque" buscando algún otro bien-indivisible que mejore su bienestar. El objetivo es encontrar una “asignación eficiente” (AGENTE - BIEN INDIVISIBLE) en donde cada agente tenga un bien-indivisible y además, ya no se pueda mejorar el bienestar de un agente sin perjudicar a otro al realizarse algún otro intercambio. Se verá que esta “asignación eficiente” puede ser encontrada solucionando un problema de optimización conocido como “transporte óptimo”. También se verán algunos otros métodos utilizados para encontrar esta “asignación eficiente”.

Referencias
· Aumann, R. J. (1964). Markets with a continuum of traders. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 39-50.
· Chiappori, P. A., McCann, R. J., and Nesheim, L. P. (2010). Hedonic price equilibria, stable matching, and optimal transport: equivalence, topology, and uniqueness. Economic Theory, 42(2), 317-354.
· Carlier, G. "Optimal transportation and economic applications." Lecture Notes. (2010)
· Shapley, L., and Scarf, H. (1974). On cores and indivisibility. Journal of mathematical economics, 1(1), 23-37.
· Villani, Cédric. *Optimal transport: old and new*. Vol. 338. Springer Science & Business Media, 2008.

Un dogma central de la microbiología establece que, en un medio ambiente constante y homogéneo, bacterias genéticamente idénticas expresan el mismo fenotipo. Sin embargo, avances tecnológicos recientes han permitido observar que poblaciones clonales de bacterias pueden estar compuestas de distintas subpoblaciones, cada una expresando un fenotipo diferente. Esta heterogeneidad fenotípica le permite a las comunidades microbianas realizar tareas complejas mediante la implementación de estrategias cooperativas de división de trabajo, así como sobrevivir a medios ambientes hostiles e impredecibles utilizando estrategias de apuesta-cobertura. En esta plática utilizaré un enfoque interdisciplinario que combina microfluídica de células individuales con modelos estocásticos de regulación genética para estudiar los mecanismos genéticos y moleculares que producen ruido fenotípico. Además, combinando evolución experimental con modelos matemáticos de dinámica poblacional, evaluaremos los regímenes ambientales bajo los cuales es evolutivamente óptimo presentar variabilidad en la población.

Using excursion theory, we construct a Markov process with no positive jumps whose positive and negative motions are given by different standard processes. The resulting process is a generalization of Kyprianou--Loeffen's refracted L\'evy processes. We discuss approximation problem for our generalized refracted L\'evy processes by removing small jumps and taking the limit as the removal level tends to zero. We also discuss conditions for refracted processes to have dual processes.

Los árboles reales son espacios métricos conexos por trayectorias y sin ciclos. Desde la introducción del Continuum Random Tree por Aldous en los años 90, los árboles reales aleatorios han ocupado un lugar destacado en la teoría de la probabilidad, aunque se han estudiado principalmente en el caso compacto. En esta charla, presentaremos una clase de árboles reales aleatorios localmente compactos asociados naturalmente a los procesos de Lévy y consideraremos una manera de definir el análogo de la sucesión de tamaños de las generaciones de un árbol combinatorio en la que aparece un proceso de ramificación continua de dos tipos.

Los procesos de Markov son una de las clases más importantes de procesos estocásticos, ya que nos permiten modelar fenomenos aleatorios con limitada dependencia histórica. Por esta razón es de gran importancia poder caracterzar esta clase de procesos. En el caso de procesos a tiempo continuo, es común hacerlo mediante una ecuación diferencial estocástica, e.g. difusiones y procesos de nacimiento y muerte. Un enfoque más natural, aunque más elaborado y por tanto menos usado en la práctica, es contruyendo las pro- babilidades de transición asociadas al modelo. Dentro de este enfoque, Mena y Walker (2009) propusieron un mecanismo para construir dichas probabilidades. Sin embargo, di- cha propuesta tiene el inconveniente que, resulta elaborado construir una transición que satisfaga las ecuciones de Chapman-Kolmogorov. De modo que, nuestro trabajo intenta dar solución a esta cuestión. Como resultado de esto, encontramos una expresión para las transiciones de algunos procesos dentro de la teora de colas, para los cuales se desconocía dicha transición. Además, el mecanismo que se usa en la construcción garantiza la exis- tencia de un proceso dual asociado al proceso de Markov inicial. Este tipo de dualidad resulta ser de utilidad dentro del marco de hidden Markov models. Por esta razón, den- tro de este contexto, modelamos el proceso signal, utilizando nuestra propuesta. De esta forma, damos una expresion para los llamados filtros optimos y predictivos.

In this talk we describe an invariance principle for a class of non-homogeneous martingale random walks in R^d that can be recurrent or transient for any dimension d. The scaling limit, which we construct, is a martingale diffusions with law determined uniquely by an SDE with discontinuous coefficients at the origin whose pathwise uniqueness may fail. The radial component of the diffusion is a Bessel process of dimension greater than 1. We characterize the law of the diffusion, which must start at the origin, via its excursions built around the Bessel process: each excursion has a generalized skew-product-type structure, in which the angular component spins at infinite speed at the start and finish of each excursion. Defining a Riemannian metric $g$ on the sphere $S^{d−1}$, different from the one induced by the ambient Euclidean space, allows us to give an explicit construction of the angular component (and hence of the entire skew-product decomposition) as a time-changed Browninan motion with drift on the Riemannian manifold $(S^{d−1}, g)$. In particular, this provides a multidimensional generalisation of the Pitman–Yor representation of the excursions of Bessel process with dimension between one and two. Furthermore, the density of the stationary law of the angular component with respect to the volume element of $g$ can be characterised by a linear PDE involving the Laplace–Beltrami operator and the divergence under the metric $g$. This is joint work with Nicholas Georgiou and Andrew Wade.