Procesos Estocáticos I

Procesos Estocásticos I

Capacitación técnica especializada en el nuevo marco de Solvencia

Comisión Nacional de Seguros y Fianzas

Horario: Martes y Jueves 17-19h, Auditorio del piso 2, Torre sur, CNSF

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemíticas, UNAM, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

Procesos de Markov a tiempo y espacio discreto
Teoría de renovación
Procesos de Poisson
Procesos de Markov a tiempo continuo y espacio discreto

Bibliografía

Procesos de Markov

Markov chains and stochastic stability, S. Meyn and R. L. Tweedie, Cambridge University Press, 2009
Markov chains, J. Norris, Cambridge University Press, 1998
Cadenas de Markov, Un enfoque elemental, M.E. Caballero, V. M. Rivero, G. Uribe Bravo, C. Velarde, Sociedad Matemítica Mexicana, 2008
Adventures in Stochastic Processes, S. Resnick, Birkhauser, 1992
Introduction to the numerical solution of Markov chains, W. Stewart, Princeton University Press, 1994

Teoría de renovación

An introduction to probability theory and its applications Vol II, W. Feller, Ed. Wiley, 1971
Lectures on the coupling method, T. Lindvall, Ed. Dover 1992
Regenerative phenomena, J.F.C. Kingman, Ed. Wiley, 1972

Teoría del Riesgo

Risk theory : The stochastic basis of insurance, Beard, Pentikainen, Pesonen, Ed. Chapman y Hall 1984
Modelling extremal events, Embrechts, Kluppelberg, Mikosch, Ed. Springer, 1997

Bitícora

19 de Abril: Ejemplos de procesos estocísticos y código en R para simularlos; Problema de la ruina en la caminata aleatoria simple; Procesos de contéo con tiempos interarribo exponenciales; El proceso clísico de riesgo
21 de Abril: Comenzamos con cadenas de Markov; Ejemplo: rata en un laberinto; Matriz de transición, distribución inicial, cadena de Markov; Transiciones a n pasos
26 de Abril: La propiedad de Markov; Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov; Ejemplos: la cadena de Ehrenfest y el proceso de Galton-Watson
28 de Abril: El diagrama de estados de una cadena de Markov; El problema de la ruina y su solución mediante anílisis de primer paso; Clases de comunicación e irreducibilidad
3 de Mayo: Tiempos de primer retorno; Definiciones de recurrencia y transitoriedad; Tiempos de paro; La propiedad de Markov fuerte
5 y 10 de Mayo: Asueto
12 de Mayo: Recordatorio de propiedad de Markov fuerte; Aplicación: la cantidad de visitas al estado inicial bajo P_x es geométrica; Transitoriedad y recurrencia de estados; Criterio de recurrencia en términos de la matriz de transición; Transitoriedad de clases abiertas; Recurrencia de clases cerradas finitas
17 y 19 de Mayo: No hay curso a causa de un evento académico
24 de Mayo: Vectores de Probabilidad invariantes; Periodo y aperiodicidad; Teorema fundamental de convergencia; Tiempos medios de recurrencia
26 de Mayo: Cadenas absorbentes; La matriz fundamental
31 de Mayo: Repaso de cadenas de Markov; Procesos de renovación; El proceso Bernoulli
2 de Junio: El proceso de tiempos residuales de un proceso de renovación es una cadena de Markov; Ley fuerte de los grandes números para procesos de renovación; Identidad de Wald; Teorema de renovación elemental; Ejemplo de un proceso no-aritmético: el proceso de Poisson
7 de Junio: El teorema de renovación elemental (caso aritmérico); Prueba mediante la cadena de tiempos residuales y su distribución invariante; Enunciado del teorema de renovación de Blackwell
9 de Junio: La ecuación de renovación; El teorema de renovación clave; Comienza el capítulo sobre Procesos de Poisson
14 de Junio: Ejercicios sobre procesos de Poisson; Distribución, condicional dado que ocurren n eventos en un intervalo, de los tiempos en que ocurren
16 de Junio: Simulación del proceso de Poisson mediante variables uniformes.; Propiedad de incrementos independientes y estacionarios del proceso de renovación con tiempos interarribo exponenciales; El proceso de Poisson compuesto y algunos cílculos relacionados
21 de Junio: Evaluación sobre cadenas de Markov
23 de Junio: Propiedad de aditividad del proceso de Poisson; Propiedad de adelgazamiento del proceso de Poisson; Proceso de Poisson mixto o condicional
28 de Junio: Tarea sobre procesos de Poisson
5 de Julio: El proceso de Poisson como proceso de Markov; Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov; El proceso de nacimiento puro y el fenómeno de explosión; La propiedad de Markov del proceso de nacimiento puro
7 de Julio: Matrices infinitesimales y construcción de CMTC; El mínimo y el índice del mínimo de variables exponenciales independientes
12 de Julio: La matriz infinitesimal; Ecuaciones hacia atrás y hacia adelante de Kolmogorov; La exponencial de una matrix infinitesimal.; El caso diagonalizable
14 de Julio: Definición de cadenas de Markov a tiempo continuo; Caracterización de cadenas de Markov a tiempo continuo: su matriz infinitesimal; Distribuciones invariantes de cadenas de Markov a tiempo continuo; El teorema fundamental de convergencia; Tarea; Notas en pizarrón