Organizadoras: Raquel Perales y Lara Bossinger
Jueves 13:00 (horario de la CDMX) en zoom (por favor contacta a las organizadoras para obtener el accesso al menos una hora antes de la reunión)
Para oradores: nuestro coloquio es dirigido a un público de matemáticos amplios como profesores de varias áreas, estudiantes del doctorado, de la maestría y de la licenciatura.
Para que todos pueden aprovechar lo más posible queremos que las platicas sean mucho más básicos que platicas de un seminario.
Si tiene alguna duda recomendamos la página Cómo dar una plática de coloquio de Mónica Clapp y Michael Barot.
Pláticas futuras
Agosto 2021
Pláticas anterioras
Junio 2021
- Junio 3: Sergio A. Holguín Cardona (IM-UNAM Oaxaca)
Título: Sobre el concepto de espacio en geometría y en física
Resumen: El concepto de espacio, al igual que el de tiempo y de materia, es quizás
uno de los conceptos más ''primitivos'' en la ciencia. En particular, el espacio resulta
ligado al origen mismo de la geometría y de la física y es de interés
también en la filosofía y en el arte. En el presente coloquio, se describirán
de manera breve algunos periodos históricos en los cuales dicho concepto se ha desarrollado,
pasando de la Antigua Grecia, a la Edad Media y el Renacimiento, y finalizando con la Era Moderna
y los Siglos XIX y XX.
Mayo 2021
- Mayo 6: Fuensanta Aroca (IM-UNAM Cuernavaca)
Título: Parametrizaciones compatibles con una proyección
Resumen: Dado un sistema de ecuaciones en n+m variables es un problema clásico
de las matemáticas despejar m variables en función de las otras n.
En el caso lineal, el álgebra lineal resuelve el problema y da un algoritmo para calcular
las soluciones. En el caso infinitamente diferenciable, si se cumplen las hipótesis del
Teorema de la Función Implícita, también podemos resolverlo.
¿Qué podemos hacer cuando las hipótesis del Teorema de la Función Implícita no se cumplen?
- Mayo 20: Moira Chas (Stony Brook)
Título: Intersección de curvas en superficies y (ciertas) álgebras de Lie.
Resumen: En los años ochenta, Goldman descubrió dos estructuras de álgebra de Lie en dos espacios
vectoriales generados por clases de homotoía libre de curvas cerradas en una superficie.
En un caso, la base está dada por las clases de curvas orientadas, y en el otro, por las clases
de curvas no orientadas. Estos corchetes de Lie, por definición, combinan la estructura de
intersección transversal con la reconexión de curvas. Describiremos cómo la estructura algebraica
captura la estructura de intersección mínima de curvas en superficies, en particular contando
las intersecciones mínimas de una curva general con curvas simples y mostrando que los elementos
centrales son paralelos al límite. La prueba utiliza tanto la geometría geodésica hiperbólica
como el efecto de los terremotos de Thurston en los ángulos en los puntos de intersección.
Si el tiempo lo permite, hablaremos de otros aspectos de las álgebras de Lie de Goldman.
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Abril 2021
- Abril 8: Luis Hernández (CIMAT Guanajuato)
Título: El problema isométrico de Banach
Resumen: Un espacio de Banach es un espacio vectorial (de dimensión finita o infinita) junto con una
norma que lo hace completo (es decir, toda sucesión de Cauchy converge). Más aún, se dice que es de Hilbert si la norma proviene de un producto interior.
En su libro de 1932, Banach pregunta lo siguiente: sea (V, || ||) un espacio de Banach y n> 1 fija.
Supón que cualesquiera dos subespacios de dimensión n son isométricos entre sí.
Entonces, ¿será necesariamente cierto que (V, || ||) es de Hilbert?
Esto se conoce como "El problema isométrico de Banach''.
En 1967 Gromov descubre la manera de relacionar este problema con la geometría/topología de
las esferas y demuestra que el problema tiene respuesta positiva para toda n par.
Recientemente, he colaborado en la resolución de este problema para la "mitad" de los casos restantes. A saber, pudimos demostrar:
Teorema. Si n=4k+1, pero distinto a 133, entonces el problema isométrico de Banach es cierto.
En la charla daré una idea de la prueba (y explicaré de donde sale el 133). ésta involucra una mezcla de nociones básicas de geometría/topología diferencial, geometría convexa, topología algebraica y representaciones de grupos de Lie compactos. Pienso que es un buen ejemplo de cómo varias ramas distintas de las matemáticas se conjugan en la resolución de un problema (originalmente de análisis funcional).
Es también un repaso a algunos temas que se abordan en cursos de posgrado.
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- Abril 22: Tim Gendron (IM-UNAM Cuernavaca)
Título: Duodécimo Problema de Hilbert, Invariante Modular Cuántico y Cuasicristales
Resumen: En esta charla introducimos el invariante modular cuántico para campos globales.
En el caso de campos globales de característica positiva (i.e. extensiones finitas de F(T), F un campo finito),
demostramos que el invariante modular cuántico da una solución del 12 Problema de Hilbert
para extensiones cuadráticas y reales de F(T).
Para adaptar nuestra prueba al caso de característica cero (extensiones finitas de los números racionales),
argumentamos que lo que se require es desarrollar una teoría algebraica de números basada en
cuasicristales. Resumen extendido y diapositivas.
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Marzo 2021
- Marzo 11: Araceli Bonifant (University of Rhode Island)
Título:
Mosaicos dinámicos en el espacio Sp de polinomios cúbicos.
Resumen: Denotemos por Sp al espacio de polinomios cúbicos en la forma estándar
con un punto crítico marcado de period p.
Para cada entero positivo fijo, q, estudiaremos los mosaicos de Sp en regiones con retrato de
órbita de periodo q.
(Trabajo en conjunto con John Milnor)
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- Marzo 25: Alexis Zamora (Universidad Autónoma de Zacatecas)
Título: Superficies fibradas y su número de fibras singulares
Resumen: Repasaremos los conceptos fundamentales de geometría algebraica, para luego definir qué
es una superficie fibrada. Un problema fundamental de la teoría de superficies fibradas es el estudio del
número mínimo de fibras singulares que debe admitir. Daremos un resumen de los principales resultados
de esta teoría, incluidas nuestras contribuciones.
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Febrero 2021
- Febrero 11: Laura Colmenarejo (UMass Amherst)
Título: Algoritmos de inserción y la teoría de representaciones
Resumen: En combinatoria algebraica, el algoritmo de Robinson-Schensted-Knuth describe una biyección entre permutaciones
generalizadas y pares de tableaux semi-estándares. Esta biyección ilustra varias identidades relacionadas con la dimensión
de representaciones irreducibles de varios grupos. En esta charla, hablaremos sobre las distintas versiones de este algoritmo
y sus consecuencias en la teoría de representaciones. También presentaré una generalización del algoritmo para álgebras de
diagramas que se comporta bien cuando restringimos las representaciones a subálgebras.
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- Febrero 25: Eduardo González (University of Massachusetts Boston)
Título: Estratificaciones de espacios y stacks via Teoría Invariante Geométrica
Resumen: La Teoría Invariante Geométrica (GIT) es una de las técnicas más comunes para construir
cocientes en geometría algebraica. El cociente GIT de una variedad (proyectiva suave) X por la acción de un
grupo (algebraico reductivo) G depende de ciertos parámetros y a su vez da una estratificación del espacio que
ayuda a hacer cálculos de invariantes numéricos de la variedad X y de su cociente X//G.
En esta plática daré una introducción de GIT y de sus estratificaciones a través de ejemplos
(variedades y stacks tóricos ) y motivaré generalizaciones a estratificaciones de stacks algebraicos
para hacer cálculos de invariantes K-teóricos y cohomológicos.
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Enero 2021
- Enero 14: Judith Campos Cordero (Facultad de Ciencias UNAM)
Título: Desigualdades de Gårding en el Cálculo de Variaciones
Resumen: Distintos resultados de unicidad de soluciones a sistemas de ecuaciones lineales elípticas se fundamentan
en una desigualdad de Gårding, que es consecuencia directa de las condiciones de elipticidad.
En esta charla discutiremos una desigualdad de Gårding para funcionales no lineales en el cálculo de variaciones vectorial.
La desigualdad es consecuencia de la semicontinuidad inferior del funcional y nos permite, a su vez,
obtener resultados de unicidad para soluciones a problemas variacionales e, incluso, para puntos extremos del funcional.
Lo presentado en esta charla es un trabajo realizado en colaboración con Jan Kristensen (Oxford).
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- Enero 28: Mauricio Bustamante (University of Cambridge)
Título: Espacios de métricas riemannianas y grupos de difeomorfismos
Resumen: Una métrica riemanniana sobre una variedad diferenciable M nos permite definir y estudiar propiedades como volumen,
curvatura y distancia; las cuales codifican su forma geométrica. El espacio (topológico) de métricas riemannianas sobre M
es entonces el objeto que parametriza todas las posibles deformaciones geométricas de la variedad. En esta charla discutiremos
la topología de estos espacios de métricas desde varios puntos de vista, especialmente cuando se imponen condiciones en
la curvatura -por ejemplo espacios de métricas de curvatura negativa. Veremos que en general, la topología de estos espacios
es rica y complicada, y que esto se debe, en parte, a la complejidad del grupo de difeomorfismos de M, el cual actúa de forma
natural por medio del "pull-back" de una métrica riemanniana. Examinaremos las propiedades de esta acción y veremos cómo
todo esto se relaciona con la teoría de haces fibrados y clases características.
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Diciembre 2020
- Diciembre 3: Laura Escobar Vega (Washington University in St. Louis)
Título: Politopos y geometría algebraica
Resumen: Un método en geometría algebraica consiste en asignarle a una familia de variedades un diccionario
entre la geometría de la familia y la combinatoria de una familia de politopos.
Esta interacción ha enriquecido tanto el área de geometría algebracia como la de gemetría convexa.
El objetivo de la charla es mostrar la interacción entre politopos y geometría algebraica empezando con los
politopos de Newton y terminando con una reciente generalización: los cuerpos de Newton-Okounkov.
Noviembre 2020
- Noviembre 5: Saraí Hernández Torres (Technion - Israel Institute of Technology)
Título: La geometría de los fenómenos críticos
Resumen: Un fenómeno es crítico al encontrarse en el parámetro donde sucede una transición de fase.
Un ejemplo cotidiano es el agua a 100°C; o bien, una roca con un grado crítico de porosidad, tal que una mínima
perturbación en la porosidad permite (o cierra) el paso de un fluido de un extremo a otro. Estos fenómenos han
sido estudiados por la física y la teoría de probabilidad. En esta plática seguiremos el enfoque
probabilístico. Nos concentramos en las propiedades geométricas de modelos para fenómenos cr&oiacute;ticos,
específicamente la percolación y el árbol generador uniforme.
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- Noviembre 19: Matthew Glenn Dawson (CIMAT)
Título: Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita
Resumen: Los grupos de Lie son ni más ni menos que grupos que tienen una estructura de variedad suave,
con respecto a la cual el producto del grupo es suave. En los últimos 150 años,
los grupos de Lie han tenido un sinfín de aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, la física matemática,
la geometría diferencial, etc. Saldrán los grupos de Lie donde haya un objeto con un grupo de simetrías suave.
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Octubre 2020
- Octubre 1: Diego Corro (IM-UNAM Unidad Oaxaca)
Título: Variedades con foliaciones asfricas
Resumen: En esta plática presentare un tipo particular de foliaciones singulares Riemannianas,
es decir foliaciones singulares compatibles con una métrica Riemanniana.
Dada una foliación singular Riemanniana (M,F) cuyas hojas son homeomorfas a toros,
daremos una serie de invariantes que determinan la vecindad tubular de una hoja.
En el caso en que M es simplemente conexa, y existe para la proyección p: M → M/F una sección,
i.e. una función inversa derecha s: M/F → M de p,
veremos que estos invariantes determinan a la foliación, salvo difeomorfismo foliado.
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- Octubre 15: Felipe García Ramos (Universidad Autónoma de San Luis Potosí)
Título: Acciones de grupo desde el punto de vista de los sistemas dinámicos
Resumen: En esta plática daremos una introducción al estudio de las acciones de grupo
(topológicas y algebraicas) desde el punto de vista de los sistemas dinámicos.
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