Pláticas futuras

Noviembre 2021

• Noviembre 4: Maite Fernández Unzueta (CIMAT)
  
  Título: Los espacios de Banach a cien años del encuentro fecundo entre lo métrico y lo vectorial.
  
  Resumen: En su tesis doctoral presentada en 1920, Stefan Banach introdujo los que conocemos hoy como espacios de Banach: espacios vectoriales dotados de una norma que determina una topología métrica completa. En palabras suyas (traducidas libremente):
  

  El presente trabajo tiene como objetivo establecer algunos teoremas válidos para diferentes campos funcionales, que especifico a continuación. Sin embargo, para no verme obligado a demostrarlos aisladamente para cada campo particular, lo que sería muy difícil, he elegido una vía diferente: considero de forma general conjuntos de elementos de los que postulo ciertas propiedades, de ellas deduzco teoremas y luego demuestro para cada campo funcional particular que los postulados adoptados son verdaderos para él. (Banach S., Fund. Math. 3 (1922), p. 134).

  En esta plática trataremos de mostrar la riqueza que se da en la confluencia de estas dos estructuras básicas (la vectorial y la métrica). Veremos ejemplos de "campos funcionales" y mostraremos algunos de los métodos desarrollados para su estudio a lo largo de estos cien años. En particular hablaremos de teoría local de los espacios de Banach, de geometría de los cuerpos convexos, así como de la relación de dualidad existente entre ideales de operadores lineales y normas tensoriales.
  Mencionaremos, por último, ejemplos de cómo el desarrollo de esta disciplina acompaña al de otras, como es el caso del análisis asintótico geométrico, los espacios de operadores (una categoría entre los espacios de Banach y las álgebras C*) o la teoría Lipschitz, mediante el llamado programa de Ribe.



• Noviembre 18: José Eduardo Simental Rodríguez (MPIM Bonn)
  
  Título: Números de Catalan racionales, deformaciones y generalizaciones
  
  Resumen: Dados enteros positivos m y n, el número de Catalan racional C_m/n cuenta el número de caminos en una cuadrícula de m x n del extremo inferior izquierdo al extremo superior derecho, que siempre están por arriba de la diagonal. Cuando m y n son coprimos, el número C_m/n admite una fórmula sencilla y una deformación bi-variada C_m/n(q,t) introducida por Loehr y Warrington que sorprendentemente se conecta con teoría de nudos, teoría de representaciones, geometría algebraica y álgebras de conglomerados, entre otras. En la charla, explicaré algunas de estas conexiones. Si el tiempo lo permite, definiré números de Catalan racionales "de orden superior", que generalizan a los números de Catalan y también admiten una deformación multi-variada con conexiones a, por lo menos, teoría de representaciones y geometría algebraica.

Pláticas anterioras

Octubre 2021

• Octubre 7: Cecilia Gonzalez Tokman (University of Queensland) a las 5 pm CDMX
  
  Título: Sistemas dinámicos no autónomos y teoremas ergódicos multiplicativos
  
  Resumen: Los sistemas dinámicos no autónomos son modelos flexibles para el estudio de sistemas cuya evolución depende de factores externos, como fuerzas estacionales o efectos aleatorios. Los teoremas ergódicos multiplicativos proveen información fundamental para el estudio de fenómenos de transporte en dichos sistemas, incluyendo medidas invariantes, tasas de mezclado y estructuras coherentes. En esta charla hablaremos de sistemas dinámicos no autónomos y teoremas ergódicos multiplicativos a través de ejemplos y presentaremos resultados obtenidos en varias colaboraciones, motivados en parte por preguntas provenientes de la dinámica del océano y la atmósfera.



• Octubre 21: Congreso nacional de la SMM
  
  

Septiembre 2021

• Septiembre 9: Frank Morgan (Atwell Professor of Mathematics, Emeritus, Williams College)
  
  Título: Double Bubbles and Densities
  
  Resumen: The familiar double soap bubble that forms when two soap bubbles come together is the least-surface-area way to enclose and separate the two given volumes of air, as we proved in 2000. There has been a surge of interest of spaces with density since their appearance in Perelman's 2006 proof of the Poincaré Conjecture. We'll discuss the double bubble problem in spaces with density, including open problems and recent results, some by undergraduates.



• Septiembre 23: Beatriz Molina Samper (IM-UNAM CU)
  
  Título: Hipersuperficies invariantes de foliaciones Newton no degeneradas
  
  Resumen: En esta charla trataremos sobre el problema de existencia de hipersuperficies invariantes para foliaciones holomorfas de codimensión uno; es decir, hipersuperficies que en su parte regular son hojas de la foliación. El célebre teorema de la separatriz de Camacho-Sad da una respuesta afirmativa en dimensión ambiente dos. En dimensión superior y en la situación no dicrítica, se tienen los resultados de Cano-Cerveau y Cano-Mattei que dan una respuesta también positiva; por el contrario, en la situación dicrítica, los conocidos ejemplos de Jouanolou proporcionan gérmenes de foliaciones en dimensión tres sin superficie invariante. Discutiremos en esta charla sobre una familia de foliaciones para las que también tenemos un resultado positivo en esta dirección: la foliaciones Newton no degeneradas.

Agosto 2021

• Agosto 12: Israel Morales Jiménez (IM-UNAM Oaxaca)
  
  Título: Grupos modulares de superficies de tipo infinito
  
  Resumen: El grupo modular, Mod(S), de una superficie (conexa, orientable y sin frontera) S, se define como el grupo formado por todas las componentes conexas por trayectorias del grupo Homeo₊(S) de homeomorfismos de S en sí misma que preservan la orientación. En la mayor parte de la literatura el grupo modular de una superficie es conocido como mapping class group. En el contexto de superficies de tipo finito (superficies con grupo fundamental finitamente generado), Mod(S) se ha estudiado desde mediados del siglo pasado, bajo este contexto se conoce mucha información. Recientemente, ha surgido el interés de estudiar el grupo modular de superficies de tipo infinito, los cuales vamos a llamar, por simplicidad, grupos modulares grandes. En esta charla veremos analogías y contrastes entre ambos escenarios. Hablaremos acerca de nuestras contribuciones en el área de grupos modulares grandes así como de posibles direcciones de investigación.
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• Agosto 26: Fernando Galaz-García (Durham University)
  
  Título: Topología y geometría de espacios de Alexandrov en dimensión 3
  
  Resumen: Los espacios de Alexandrov (con curvatura acotada inferiormente) son generalizaciones métricas de las variedades Riemannianas completas con curvatura seccional uniformemente acotada por abajo. Algunas instancias de espacios de Alexandrov son, por ejemplo, órbifolds Riemannianios compactos o espacios de órbitas de acciones isométricas de grupos de Lie compactos en variedades Riemannianas compactas. Además de ser objetos de interés por sí mismos, los espacios de Alexandrov juegan un papel importante en la geometría diferencial, por ejemplo, en la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré. En esta plática daremos un vistazo a la topología y geometría de los espacios de Alexandrov, enfocándonos en aquellos de dimensión 3.
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Junio 2021

• Junio 3: Sergio A. Holguín Cardona (IM-UNAM Oaxaca)
  
  Título: Sobre el concepto de espacio en geometría y en física
  
  Resumen: El concepto de espacio, al igual que el de tiempo y de materia, es quizás uno de los conceptos más ''primitivos'' en la ciencia. En particular, el espacio resulta ligado al origen mismo de la geometría y de la física y es de interés también en la filosofía y en el arte. En el presente coloquio, se describirán de manera breve algunos periodos históricos en los cuales dicho concepto se ha desarrollado, pasando de la Antigua Grecia, a la Edad Media y el Renacimiento, y finalizando con la Era Moderna y los Siglos XIX y XX.
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Mayo 2021

• Mayo 6: Fuensanta Aroca (IM-UNAM Cuernavaca)
  
  Título: Parametrizaciones compatibles con una proyección
  
  Resumen: Dado un sistema de ecuaciones en n+m variables es un problema clásico de las matemáticas despejar m variables en función de las otras n. En el caso lineal, el álgebra lineal resuelve el problema y da un algoritmo para calcular las soluciones. En el caso infinitamente diferenciable, si se cumplen las hipótesis del Teorema de la Función Implícita, también podemos resolverlo. ¿Qué podemos hacer cuando las hipótesis del Teorema de la Función Implícita no se cumplen?



• Mayo 20: Moira Chas (Stony Brook)
  
  Título: Intersección de curvas en superficies y (ciertas) álgebras de Lie.
  
  Resumen: En los años ochenta, Goldman descubrió dos estructuras de álgebra de Lie en dos espacios vectoriales generados por clases de homotoía libre de curvas cerradas en una superficie. En un caso, la base está dada por las clases de curvas orientadas, y en el otro, por las clases de curvas no orientadas. Estos corchetes de Lie, por definición, combinan la estructura de intersección transversal con la reconexión de curvas. Describiremos cómo la estructura algebraica captura la estructura de intersección mínima de curvas en superficies, en particular contando las intersecciones mínimas de una curva general con curvas simples y mostrando que los elementos centrales son paralelos al límite. La prueba utiliza tanto la geometría geodésica hiperbólica como el efecto de los terremotos de Thurston en los ángulos en los puntos de intersección. Si el tiempo lo permite, hablaremos de otros aspectos de las álgebras de Lie de Goldman.
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Abril 2021

• Abril 8: Luis Hernández (CIMAT Guanajuato)
  
  Título: El problema isométrico de Banach
  
  Resumen: Un espacio de Banach es un espacio vectorial (de dimensión finita o infinita) junto con una norma que lo hace completo (es decir, toda sucesión de Cauchy converge). Más aún, se dice que es de Hilbert si la norma proviene de un producto interior. En su libro de 1932, Banach pregunta lo siguiente: sea (V, || ||) un espacio de Banach y n> 1 fija. Supón que cualesquiera dos subespacios de dimensión n son isométricos entre sí. Entonces, ¿será necesariamente cierto que (V, || ||) es de Hilbert? Esto se conoce como "El problema isométrico de Banach''. En 1967 Gromov descubre la manera de relacionar este problema con la geometría/topología de las esferas y demuestra que el problema tiene respuesta positiva para toda n par. Recientemente, he colaborado en la resolución de este problema para la "mitad" de los casos restantes. A saber, pudimos demostrar: Teorema. Si n=4k+1, pero distinto a 133, entonces el problema isométrico de Banach es cierto. En la charla daré una idea de la prueba (y explicaré de donde sale el 133). ésta involucra una mezcla de nociones básicas de geometría/topología diferencial, geometría convexa, topología algebraica y representaciones de grupos de Lie compactos. Pienso que es un buen ejemplo de cómo varias ramas distintas de las matemáticas se conjugan en la resolución de un problema (originalmente de análisis funcional). Es también un repaso a algunos temas que se abordan en cursos de posgrado.
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• Abril 22: Tim Gendron (IM-UNAM Cuernavaca)
  
  Título: Duodécimo Problema de Hilbert, Invariante Modular Cuántico y Cuasicristales
  
  Resumen: En esta charla introducimos el invariante modular cuántico para campos globales. En el caso de campos globales de característica positiva (i.e. extensiones finitas de F(T), F un campo finito), demostramos que el invariante modular cuántico da una solución del 12 Problema de Hilbert para extensiones cuadráticas y reales de F(T). Para adaptar nuestra prueba al caso de característica cero (extensiones finitas de los números racionales), argumentamos que lo que se require es desarrollar una teoría algebraica de números basada en cuasicristales. Resumen extendido y diapositivas.
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Marzo 2021

• Marzo 11: Araceli Bonifant (University of Rhode Island)
  
  Título: Mosaicos dinámicos en el espacio S_p de polinomios cúbicos.
  
  Resumen: Denotemos por S_p al espacio de polinomios cúbicos en la forma estándar con un punto crítico marcado de period p. Para cada entero positivo fijo, q, estudiaremos los mosaicos de S_p en regiones con retrato de órbita de periodo q. (Trabajo en conjunto con John Milnor)
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• Marzo 25: Alexis Zamora (Universidad Autónoma de Zacatecas)
  
  Título: Superficies fibradas y su número de fibras singulares
  
  Resumen: Repasaremos los conceptos fundamentales de geometría algebraica, para luego definir qué es una superficie fibrada. Un problema fundamental de la teoría de superficies fibradas es el estudio del número mínimo de fibras singulares que debe admitir. Daremos un resumen de los principales resultados de esta teoría, incluidas nuestras contribuciones.
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Febrero 2021

• Febrero 11: Laura Colmenarejo (UMass Amherst)
  
  Título: Algoritmos de inserción y la teoría de representaciones
  
  Resumen: En combinatoria algebraica, el algoritmo de Robinson-Schensted-Knuth describe una biyección entre permutaciones generalizadas y pares de tableaux semi-estándares. Esta biyección ilustra varias identidades relacionadas con la dimensión de representaciones irreducibles de varios grupos. En esta charla, hablaremos sobre las distintas versiones de este algoritmo y sus consecuencias en la teoría de representaciones. También presentaré una generalización del algoritmo para álgebras de diagramas que se comporta bien cuando restringimos las representaciones a subálgebras.
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• Febrero 25: Eduardo González (University of Massachusetts Boston)
  
  Título: Estratificaciones de espacios y stacks via Teoría Invariante Geométrica
  
  Resumen: La Teoría Invariante Geométrica (GIT) es una de las técnicas más comunes para construir cocientes en geometría algebraica. El cociente GIT de una variedad (proyectiva suave) X por la acción de un grupo (algebraico reductivo) G depende de ciertos parámetros y a su vez da una estratificación del espacio que ayuda a hacer cálculos de invariantes numéricos de la variedad X y de su cociente X//G. En esta plática daré una introducción de GIT y de sus estratificaciones a través de ejemplos (variedades y stacks tóricos ) y motivaré generalizaciones a estratificaciones de stacks algebraicos para hacer cálculos de invariantes K-teóricos y cohomológicos.
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Enero 2021

• Enero 14: Judith Campos Cordero (Facultad de Ciencias UNAM)
  
  Título: Desigualdades de Gårding en el Cálculo de Variaciones
  
  Resumen: Distintos resultados de unicidad de soluciones a sistemas de ecuaciones lineales elípticas se fundamentan en una desigualdad de Gårding, que es consecuencia directa de las condiciones de elipticidad. En esta charla discutiremos una desigualdad de Gårding para funcionales no lineales en el cálculo de variaciones vectorial. La desigualdad es consecuencia de la semicontinuidad inferior del funcional y nos permite, a su vez, obtener resultados de unicidad para soluciones a problemas variacionales e, incluso, para puntos extremos del funcional. Lo presentado en esta charla es un trabajo realizado en colaboración con Jan Kristensen (Oxford).
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• Enero 28: Mauricio Bustamante (University of Cambridge)
  
  Título: Espacios de métricas riemannianas y grupos de difeomorfismos
  
  Resumen: Una métrica riemanniana sobre una variedad diferenciable M nos permite definir y estudiar propiedades como volumen, curvatura y distancia; las cuales codifican su forma geométrica. El espacio (topológico) de métricas riemannianas sobre M es entonces el objeto que parametriza todas las posibles deformaciones geométricas de la variedad. En esta charla discutiremos la topología de estos espacios de métricas desde varios puntos de vista, especialmente cuando se imponen condiciones en la curvatura -por ejemplo espacios de métricas de curvatura negativa. Veremos que en general, la topología de estos espacios es rica y complicada, y que esto se debe, en parte, a la complejidad del grupo de difeomorfismos de M, el cual actúa de forma natural por medio del "pull-back" de una métrica riemanniana. Examinaremos las propiedades de esta acción y veremos cómo todo esto se relaciona con la teoría de haces fibrados y clases características.
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Diciembre 2020

• Diciembre 3: Laura Escobar Vega (Washington University in St. Louis)
  
  Título: Politopos y geometría algebraica
  
  Resumen: Un método en geometría algebraica consiste en asignarle a una familia de variedades un diccionario entre la geometría de la familia y la combinatoria de una familia de politopos. Esta interacción ha enriquecido tanto el área de geometría algebracia como la de gemetría convexa. El objetivo de la charla es mostrar la interacción entre politopos y geometría algebraica empezando con los politopos de Newton y terminando con una reciente generalización: los cuerpos de Newton-Okounkov.

Noviembre 2020

• Noviembre 5: Saraí Hernández Torres (Technion - Israel Institute of Technology)
  
  Título: La geometría de los fenómenos críticos
  
  Resumen: Un fenómeno es crítico al encontrarse en el parámetro donde sucede una transición de fase. Un ejemplo cotidiano es el agua a 100°C; o bien, una roca con un grado crítico de porosidad, tal que una mínima perturbación en la porosidad permite (o cierra) el paso de un fluido de un extremo a otro. Estos fenómenos han sido estudiados por la física y la teoría de probabilidad. En esta plática seguiremos el enfoque probabilístico. Nos concentramos en las propiedades geométricas de modelos para fenómenos cr&oiacute;ticos, específicamente la percolación y el árbol generador uniforme.
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• Noviembre 19: Matthew Glenn Dawson (CIMAT)
  
  Título: Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita
  
  Resumen: Los grupos de Lie son ni más ni menos que grupos que tienen una estructura de variedad suave, con respecto a la cual el producto del grupo es suave. En los últimos 150 años, los grupos de Lie han tenido un sinfín de aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, la física matemática, la geometría diferencial, etc. Saldrán los grupos de Lie donde haya un objeto con un grupo de simetrías suave.
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Octubre 2020

• Octubre 1: Diego Corro (IM-UNAM Unidad Oaxaca)
  
  Título: Variedades con foliaciones asfricas
  
  Resumen: En esta plática presentare un tipo particular de foliaciones singulares Riemannianas, es decir foliaciones singulares compatibles con una métrica Riemanniana. Dada una foliación singular Riemanniana (M,F) cuyas hojas son homeomorfas a toros, daremos una serie de invariantes que determinan la vecindad tubular de una hoja. En el caso en que M es simplemente conexa, y existe para la proyección p: M → M/F una sección, i.e. una función inversa derecha s: M/F → M de p, veremos que estos invariantes determinan a la foliación, salvo difeomorfismo foliado.
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• Octubre 15: Felipe García Ramos (Universidad Autónoma de San Luis Potosí)
  
  Título: Acciones de grupo desde el punto de vista de los sistemas dinámicos
  
  Resumen: En esta plática daremos una introducción al estudio de las acciones de grupo (topológicas y algebraicas) desde el punto de vista de los sistemas dinámicos.

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Links: UNAM, Instituto de Matemáticas, Unidad Oaxaca