Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
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Resumen
Las variedades de conglomeradoson esquemas algebraicos que se obtienen pegando varioscopias de un toro algebraica
por mapeos biracionales. Fueron introducidas por Fock y Goncharov en su artículo [FG09] y son de gran interés
por ser ejemplos tangibles de variedadeslog Calabi-Yau. Son la encarnación geométrica de las álgebras de conglomerado
de Fomin yZelevinsky [FZ02]; un álgebra de conglomerado es un anillo conmutativo que se define de manera recursiva:
dado un conjunto de variables algebraicamente independientes-unasemilla- hay un proceso-la mutación- que construye
otra semilla reemplazando un elemento del conjuntopor un elemento nuevo. Las semillas y las mutaciones son
controladas por datos combinatorios como un carcaj o una gráfica plabic. El atlas de una variedad de
conglomerado estádeterminado por la misma información combinatoria: cada semilla da una copia del toro y
las mutaciones definen a los mapeos biracionales.
La teoría de las variedades de conglomerado extiende en un sentido amplio la geometría tórica:
en la geometría tórica los objetos de interés son compactificaciones del toro; de manera similar muchas variedades
Fano son compactificaciones de variedades de conglomerado. Por ejemplo, algunos superficies del Pezzo,
las Grassmannianas y varias variedades de banderas. También existen análogos de los politopos y abanicos que
controlan las compactificaciones detoros en la geometría tórica, e.g. [CMN21]. Además las variedades de conglomerado
admiten degeneraciones tóricas, ver [GHKK18, BFMN20]. Las variedades de conglomerado por suestructura combinatoria
son ejemplos fértiles para explorar nuevas teorías. Un ejemplo es lasimetría especular que tiene su motivación
en la teoría de cuerdas en la física teórica, e.g. en [GHKK18].
En este seminario vamos a dedicarnos al estudio de las variedades de conglomerado y algunas aplicaciones de ellas.
Requisitos: Geometría algebraica y álgebra conmutativa (necesarios), Geometría tórica y álgebras de conglomerado (recomendable)
Temario
- febrero 9: Variedades tóricas proyectivas [CLS11] (Lara), diapositivas
- febrero 16: Variedades de conglomerado [GHK15, §2] (Bosco), diapositivas
- febrero 23: Resumen de las ideas en [GHKK18] (Alfredo), diapositivas
- marzo 2: Diagramas de difusión [GHKK18, §1] (Lara), diapositivas, video
- marzo 9: Coversación acerca del paro un día sin mujeres
- marzo 16: La Tropicalización de variedades de conglomerado [GHKK18, §2] (Sergio), diapositivas
- marzo 23: Líneas quebradas y funciones theta [GHKK18, §3] (Carolina), diapositivas
- marzo 30: Positividad del fenómeno de Laurent [GHKK18, §4] (Lara), diapositivsa, video
- abril 6: Coherencia de los signos de c- y g-vectores [GHKK18, §5] (Lara), diapositivas, video
- abril 13: semana santa
- abril 20: La conjetura de Fock-Goncharov y mid(A)[GHKK18, §0 y §7] (Aram), diapositivas, video
- abril 27: Politopos positivos y convexidad [CMN21] (Tim), diapositivas, video
- mayo 4: Degeneraciones tóricas de (compactificaciones de) A-variedades [GHKK18, §8.3-5] (Sergio), diapositivas, video
- mayo 11: El superpotencial y el caso de la Grassmanniana [GHKK18, §9] (Lara), diapositivas, video
- mayo 18: Aplicaciones a la teoría de representaciones de carcajes (Daniel), video
- mayo 25: Algunas A-variedades de conglomerados en la intersección de teoría de Lie y teoría de nudos (José), video
Bibliografía
- [BFMN20]
Lara Bossinger, Bosco Frías-Medina, Timothy Magee, and Alfredo
Nájera Chávez.
Toric degenerations of cluster varieties and cluster duality.
Compos. Math., 156(10):2149--2206, 2020.
- [CLS11]
David A. Cox, John B. Little, and Henry K. Schenck.
Toric varieties.
American Mathematical Soc., 2011.
- [CMN21]
M.-W. Cheung, T. Magee, and A.
Nájera Chávez.
Compactifications of cluster varieties and convexity.
International Mathematics Research Notices, 2021.
- [FG09]
Vladimir V. Fock and Alexander B. Goncharov.
Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm.
Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4), 42(6):865--930, 2009.
- [FZ02]
Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky.
Cluster algebras. I. Foundations.
J. Amer. Math. Soc., 15(2):497--529, 2002.
- [GHK15]
Mark Gross, Paul Hacking, and Sean Keel.
Birational geometry of cluster algebras.
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- [GHKK18]
Mark Gross, Paul Hacking, Sean Keel, and Maxim Kontsevich.
Canonical bases for cluster algebras.
J. Amer. Math. Soc., 31(2):497--608, 2018.