\( %\newcommand{\paren}[1]{\left( #1\right) } \newcommand{\fun}[3]{#1:#2\to #3} \newcommand{\p}{\mathbb{P}} \newcommand{\E}{\mathscr{E}} \newcommand{\imf}[2]{#1\!\paren{#2}} \newcommand{\set}[1]{\left\{ #1\right\} } \) 2012-II

Procesos Estocasticos I

Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM, Semestre 2012-II

Horario: Lunes y viernes 10h30-13h, Salón de Seminarios 2, Instituto de Matemáticas

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Ayudante: Guillermo Garro (Aula 1 de Becarios, Instituto de Matemáticas, e-mail: memfilmat@yahoo.com.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

  1. Martingalas
  2. Procesos de Markov
  3. Procesos de Poisson
  4. Procesos gaussianos y movimiento brownaino

Liga al temario oficial.

Prerequisitos: Probabilidad I a nivel posgrado.

La evaluación se realizará a partir de (aproximadamente) 8 tareas examen.

Bibliografía

Bibliografía general

  1. Probability: Theory and examples, R. Durrett, Cambridge University Press, 2010.
  2. Probability Essentials, J. Jacod y P. Protter, Springer, 2003
  3. Foundations of Modern Probability, O. Kallenberg, Springer, 2002
  4. Continuous Martingales and Brownian Motion , D. Revuz y M. Yor, Springer, 1999
  5. Procesos Estocásticos , C. Tudor, Sociedad Matemática Mexicana, 1994
  6. Probability and measure, P. Billingsley, Wiley, 1995

Martingalas

  1. Martingale limit theory and its application , P. Hall and C. C. Heyde, Academic Press Inc., 1980
  2. Discrete parameter martingales , J. Neveu, North-Holland Publishing Co., 1975
  3. Probability with martingales , D. Williams, Cambridge University Press, 1991

Cadenas y Procesos de Markov

  1. Markov chains, J. Norris, Cambridge University Press, 1998

Bitácora

Capítulo 1, Martingalas

30 de Enero
Repaso: definición y propiedades de la esperanza condicional
Definición de filtración, martingala, submartingala y supermartingala
Funciones convexas de martingalas
Ejemplos de martingalas: caminatas aleatorias y martingalas asociadas, esperanza condicional de una misma variable dados los elementos de una filtración, la martingala asociada al esquema de doblar apuestas.
3 de Febrero
Urnas de Pólya y la martingala asociada
Tiempos aleatorios y tiempos de paro
Supermartingalas detenidas
Teorema de muestreo opcional de Doob para supermartingalas
Tarea 1
10 de Febrero
Procesos previsibles
La transformación de una martingala mediante un proceso previsible
Cantidad de cruces hacia arriba
El lema de cruces de Doob
Teorema fudamental de convergencia de martingalas y ejemplos de aplicación
13 de Febrero
Teorema de convergencia hacia arriba de Lévy
Ley 0-1 de Kolmogorov
Teorema de convergencia hacia abajo de Lévy
Ley fuerte de los grandes números
17 de Febrero
Filtraciones y martingalas a tiempo continuo; hipótesis habituales
Teorema de regularización de martingalas
Desigualdad maximal de Doob
Desigualdad \(L_p\) de Doob (\(p>1\))
Teorema de convergencia de martingalas acotadas en \(L_p\) (\(p>1\))
20 de Febrero
Criterios de extinción para procesos de Galton-Watson: análisis mediante martingalas
Urnas de Pólya y el teorema de de Finetti
24 de Febrero
Crecimiento exponencial de procesos de Galton-Watson supercríticos cuadrado integrables
Definición de integrabilidad uniforme
Integrabilidad uniforme de la familia de esperanzas condicionales de una variable aleatoria integrable
Equivalencia entre integrabilidad uniforme y convergencia en \(L_1\) de sucesiones de variables aleatorias integrables casi seguramente convergentes
Tarea 2

Capítulo 2, Procesos de Markov

Sección 1, Construcción de procesos estocásticos

27 de Febrero
Construcción de una sucesión de variables independientes Bernoulli (1/2) (a partir de la medida de Lebesgue)
El espacio canónico asociado
Construcción de una sucesión de variables uniformes independientes
La función de cuantiles de una función de distribución
Construcción de una sucesión de variables independientes con distribuciones arbitrarias
Construcción de cadenas de Markov con distribución inicial y matriz de transición dadas
2 de Marzo
Probabilidad condicional regular de una variable aleatoria real dada una sub\(\sigma\)-álgebra
Espacio canónico de un proceso estocástico a tiempo discreto
Distribucion de un proceso estocástico y distribuciones finito-dimensionales
Consistencia de una familia de distribuciones
Enunciado del teorema (fundamental o de consistencia) de Kolmogorov
5 de Marzo
Prueba del teorema de Kolmogorov a tiempo discreto mediante probabilidad condicional regular y variables uniformes independientes
El espacio canónico para procesos estocásticos reales a tiempo continuo
Enunciado y prueba del teorema de Kolmogorov a tiempo continuo

Sección 2, Cadenas de Markov con espacio numerable

9 de Marzo
Independencia condicional y la propiedad de Markov
Familia Markoviana asociada a una cadena de Markov
La propiedad de Markov en el espacio canónico
Probabilidad de extinción del proceso de Galton-Watson
12 de Marzo
Solución al problema de la ruina para caminatas aleatorias simples
Probabilidad de extinción en procesos de nacimiento y muerte
Funciones armónicas discretas, el problema de Dirichlet, y su solución mediante caminatas aleatorias
La propiedad de Markov fuerte
16 de Marzo
Aplicaciones de la propiedad de Markov fuerte
Función generadora de tiempos de arribo para la caminata aleatoria simple unidimensional
El mínimo de una caminata aleatoria con saltos en \(\{-1,0,1,\ldots\}\)
Recurrencia y transitoriedad mediante la propiedad de Markov fuerte
20 de Marzo
Tarea 3: pdf
Archivo .tex, grafico 1 y 2 en pdf, archivo .bbl
23 de Marzo
Distribuciones y medidas invariantes
Construcción probabilística de medidas invariantes para cadenas irreducibles y recurrentes
Estados positivo-recurrentes
Existencia y unicidad de distribuciones invariantes para cadenas irreducibles y positivo-recurrentes
Estados aperiódicos
El teorema fundamental de convergencia a la distribución estacionaria para cadenas irreducibles, aperiódicas y positivo-recurrentes
La demostración de Döblin.

Sección 3, Cadenas de Markov a tiempo continuo

9 de Abril
El proceso Poisson como proceso de contéo con tiempos interarribo exponenciales
El proceso de Poisson como proceso de Lévy
El proceso Poisson y las estad\'isticas de orden de la distribuci\'on uniforme
Martingalas asociadas
13 de Abril
El proceso de nacimiento puro
Criterio de explosión
Propiedad de Markov
Propiedad de Markov a tiempo continuo
Probabilidad de transición
Ecuacion de Chapman-Kolmogorov
Procesos de Markov constantes por pedazos y procesos de Markov minimales
16 de Abril
Espacio canónico de trayectorias constantes por pedazos minimales
Familia markoviana de probabilidades en el espacio canónico
La propiedad de Markov fuerte en el espacio canónico
Caracterización de familias markovianas
23 de Abril
Un proceso de contéo con incrementos independientes y estacionarios es de Poisson
Semigrupo de transición
Análisis de primer salto y la ecuación backward de Kolmogorov
Espacio de estados finito, exponenciales de matrices, y las ecuaciones backward y forward de Kolmogorov
27 de Abril
Distribuciones invariantes para familias Markovianas y su relación con las distribuciones invariantes de la cadena asociada
El teorema fundamental de convergencia para familias Markovianas
Distribuciones invariantes y tiempos medios de recurrencia
Tarea 4: pdf
Archivo .tex

Capítulo 3, Procesos de Lévy y movimiento browniano

30 de Abril
La medida aleatoria asociada al proceso de Poisson
Medidas aleatorias de Poisson
Existencia de las medidas aleatorias de Poisson
Fórmula exponencial (conocida como de Campbell)
4 de Mayo
Integrales respecto de medidas aleatorias de Poisson y fórmula de Campbell
Construcción de subordinadores mediante medidas aleatorias de Poisson
Procesos de renovación: definiciones básicas
Ley fuerte de los grandes números para procesos de renovación
Teorema de renovación elemental
7 de Mayo
El teorema de renovación para procesos aritméticos (Erdös-Feller-Pollard)
Enunciado del teorema de renovación de Blackwell
La ecuación de renovación
El teorema de renovación clave para procesos aritméticos
11 de Mayo
Vectores gaussianos: propiedades básicas
Convergencia en distribución y de momentos para sucesiones de variables gaussianas
Definición de movimiento browniano
Construcción de Lévy del movimiento browniano: convergencia casi segura de la sucesión aproximante
14 de Mayo
Construcción de Lévy del movimiento browniano: el límite uniforme es un movimiento browniano
Construcción de Kolmogorov del movimiento browniano:
Utilización del teorema de consistencia de Kolmogorov para construir un movimiento browniano en ley
El criterio de continuidad de Kolmogorov (con demostración)
Modificación continua de un movimiento browniano en ley
Tarea 5, archivo .tex
21 de Mayo
Martingalas asociadas al movimiento browniano
Propiedades básicas del movimiento browniano: simetría, homogeneidad, escalamiento, inversi&ooacute;n temporal
Ley fuerte de los grandes números para el movimiento browniano
La propiedad de Markov fuerte
Encaje de la caminata aleatoria simple en el movimiento browniano
Preliminares al principio de invariancia de Donsker