La ecuación estocástica del calor $\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u(t,x)+{\stackrel{.}{W}}^H(t,x),t,x\in (0,T)\times {ℝ}^d,v(0,\cdot )=0,$ con $W^H$ un ruido fraccionario blanco con parámetro de Hürst $H$ en $(1/2,1)$ tiene solución sí y sólo sí $4H-d>0$. En la plática analizaremos la Hölderianidad de las trayectorias de dicha solución y su relación con técnicas para poder estimar superior e inferiormente de eventos del tipo $U(I\times J)\cap A\ne \varnothing$ donde U es un vector aleatorio con copias independientes e idénticamente distribuidas como u en cada coordenada.

El teorema de Birkhoff es una ley fuerte de los grandes números que es válida para sistemas dinámicos ergódicos. En general gracias al paralelismo entre la teoría de los procesos estocásticos y los sistemas dinámicos, muchas ideas, métodos, preguntas y resultados de la probabilidad han sido “traducidos” al contexto de los sistemas dinámicos, por ejemplo, resultados del tipo teorema del límite central, grandes desvíos, desigualdades de concentración entre muchos otros. En esta charla hablaré brevemente del enfoque del análisis funcional que sirve para llegar a estos resultados probabilistas en dinámica, daré un panorama de los resultados típicos y discutiré algunos de los problemas abiertos sobre todo en lo que respecta a sistemas dinámicos con perturbaciones estocásticas y con huecos.

En diferentes modelos de probabilidad surge la necesidad de estudiar operadores que tienen coeficientes aleatorios, por ejemplo, el generador infinitesimal de una difusión en ambiente aleatorio, o el límite de una matriz aleatoria. En esta charla hablaremos de cierto tipo de operadores aleatorios; un prototipo es el operador Laplaciano más un potencial dado por un ruido blanco. Mencionaremos también algunas herramientas que usamos, como la teoría de Sturm-Liouville, para analizar dichos operadores.

A dynamic joint probabilistic constraint is an inequality of the type $\begin{array}{cc}& P\left(g_i\right(x_1,x_2\left({\xi }_1\right)x_2({\xi }_1,{\xi }_2),\dots ,x_T({\xi }_1,\dots ,{\xi }_{T-1}),{\xi }_1,\dots ,{\xi }_T)\le 0,i=1,\dots ,m)\ge 0\hfill \end{array}$ where $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_T)$ is a finite stochastic process, $(x_1,\dots ,x_T)$ is an adapted process of decision policies depending on previously observed outcomes of the random process, $P$ is a probability measure and $p\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ is a probability level. A typical example arises in hydro power reservoir control subject to level constraints where the above display figures as a constraint in some optimization problem. The talk presents some structural results for the associated probability function assigning to each set of decision policies the probability occurring above. For instance, strong and weak semicontinuity results are provided for the general case depending on whether policies are supposed in $L_p$ or $W_{1,p}$ spaces. For a simple two-stage model corresponding to the one of reservoir control, verifiable conditions for Lipschitz continuity and differentiability of this probability function are derived and endowed with explicit derivative formulae. Numerical results are illustrated for the solution of such two-stage problem.

Entender propiedades de recurrencia, medidas estacionarias y desviaciones de caminatas en grupo es un tema de pujante actualidad. Nos concentraremos en el caso dinámico de homeomorfismos unidimensionales, y revisaremos resultados como la unicidad de la medida estacionaria (caso del círculo) y la recurrencia para caminatas simétricas (caso del intervalo). Dos problemas abiertos serán discutidos.

El coalescente de Bolthausen-Sznitman ha sido identificado como el proceso límite para las genealogías de poblaciones en las que la selección natural juega un papel importante. Por tanto ha sido propuesto como un modelo nulo, alternativo al coalescente de Kingman, para este tipo de poblaciones. En este trabajo presentaré expresiones explicitas para los primeros y segundos momentos del Espectro de Sitios Segregantes de este coalescente; este funcional modela la variación genética presente en una población y por tanto es típicamente utilizado para la selección de modelos genealógicos en la genética de poblaciones. Dichas expresiones se obtuvieron a partir de una construcción reciente del coalescente de Bolthausen-Sznitman en términos de árboles recursivos aleatorios, lo cual evidencia la importancia de este tipo de representaciones.

Ballistic annihilation is a simple to describe, but notoriously difficult to analyze one dimensional annihilating particle system. The main questions were "solved" to the satisfaction of physicists some 30 years ago, but just now are mathematicians becoming similarly satisfied. We will trace the history of the process as well as describe recent results and remaining challenges. Joint work with Hanbaek Lyu.

En este plática presentamos una condición necesaria y suficiente para la existencia de una extensión recurrente de un proceso de Markov auto-similar a valores reales que deja 0 continuamente. La condición se expresa en términos del proceso de Markov aditivo asociado a través de la representación de Lamperti-Kiu. Nuestros resultados extienden los de Fitzsimmons (2006) y Rivero (2005, 2007), en los que se trató la existencia y unicidad de una extensión recurrente para procesos de Markov auto-similares positivos. En particular, describimos la extensión recurrente de un proceso estable que, según nuestro conocimiento, no se ha estudiado anteriormente. Este es un trabajo conjunto con Juan Carlos Pardo y Víctor Rivero.