Teoría de Homotopía

• Un poco de teoría de categorías
• El teorema de van Kampen
• Espacios cubrientes
• Teoremas de van Kampen y Mayer-Vietoris para coproductos amalgamados homotópicos

• Grupoide fundamental y teorema de van Kampen [2020-09-21 Mon]
• Espacios cubrientes [2020-09-28 Mon]
• 1-tipos [2020-10-07 Wed]
• Coproductos amalgamados homotópicos [2020-10-19 Mon]

Este curso será una introducción a la teoría de homotopía con enfásis en ejemplos y en técnicas de cálculo, no solo de cálculo de invariantes algebraicos como grupos de homotopía u homología, sino cálculos a nivel de espacios: límites y colímites homotópicos en general, en particular fibras homotópicas, cofibras homotópicas, espacios de lazos, etc.

El curso será en línea, por motivos harto conocidos en este punto.

La principal herramienta de comunicación será un chat privado de Zulip que abriré para el curso. Ahí ustedes, los alumnos, podrán platicar entre ustedes y conmigo en cualquier momento sobre el curso o más en general sobre matemáticas (¡yo extraño las conversaciones de pasillo!). Leeré los mensajes del chat y procuraré contestar relativamente pronto todo el tiempo, pero solo prometo respuesta inmediata durante el horario de clase.

En lugar del formato tradicional de clase, donde explico cosas durante una hora, iré asignando lecturas, usualmente del libro, quizá en ocasiones de otras fuentes, y listas cortas de problemas para discutir. Esto requerirá que los alumnos sean un poco autodidactas, pero tiene la gran ventaja de que podremos concentrar el tiempo de comunicación en vivo a resolver dudas que surjan después de haber hecho un esfuerzo por entender el material. (La verdad tenía ganas de intentar este modo de dar cursos desde antes de la pandemia).

Las calificaciones estarán basadas en varias tareas cortas que deberán entregar electrónicamente (escritas en la computadora, o a mano y fotografiadas).

• Familiaridad con temas básicos de topología algebraica como el grupo fundamental y homología. El curso básico de topología algebraica del posgrado cumple ampliamente esos requistos.
• Familiaridad con lenguaje categórico: saber las definiciones y conocer ejemplos de categorías y funtores. No se necesitará conocer resultados avanzados de la teoría de categorías, solo definiciones y resultados muy básicos.

• 1-tipos homotópicos

  El grupoide fundamental; espacios cubrientes; espacios clasificantes de grupos discretos

• Límites y colímites homotópicos

  Coproductos amalgamados, productos fibrados; Fibraciones y cofibraciones, Fibra y cofibra homotópica; Telescopios; Órbitas homotópicas

• Complejos CW
• Grupos de homotopía, ejemplos y técnicas básicas de cálculo
• Torres de Postnikov, torres de Whitehead

• Teoremas clásicos de homotopía

  El teorema de Blakers-Massey; el teorema de Hilton-Milnor; el lema de Ganea; los teoremas de Mather sobre digramas cúbicos

• Brian Munson, Ismar Volić, Cubical Homotopy Theory, Cambridge University Press (2015).
• Jeffrey Strom, Modern Classical Homotopy Theory, Graduate Studies in Mathematics v. 127, American Mathematical Society (2011).
• Paul Selick, Introduction to Homotopy Theory, Fields Institute Monographs (2008)