El coalescente seed bank es un modelo genealógico estructurado que aparece en modelos evolutivos para poblaciones de plantas (con bancos de semillas) y también poblaciones de continentes/islas. Los linajes de este coalescente pueden ser activos (plantas) o inactivos (semillas). En esta plática ofrecemos una imagen completa de la forma de este árbol de coalescencia, definiendo tiempos de paro que dividen al árbol en sus diferentes dinámicas. Esta división nos ayudó a demostrar que la longitud total está localizada en la parte inferior del árbol. Finalmente obtuvimos una fórmula de muestreo del estilo de Ewens, dando lugar a algunas herramientas estadísticas para aplicaciones genéticas. Proyecto en conjunto con Adrián González Casanova y Arno Siri-Jégousse.

Resetting a stochastic process from time to time to its initial state can represent an efficient way of finding hidden targets. This property has been applied in statistical physics and computer science, and also allows to understand biological processes such as enzymatic reactions or search strategies adopted by foraging animals. Random walks on general networks and subject to resetting have been very little studied, despite their relevance to epidemic spreading, searching on the web or human mobility. We develop here an extension to an arbitrary network topology of the diffusion problem with stochastic resetting. Our formalism applies to finite undirected networks and is implemented from the spectral properties of the random walk without resetting. We show that resetting can allow a faster exploration of many network architectures such as rings, Cayley trees, random networks and complex networks, highlighting the importance of the choice of the starting/resetting node. The small-world effect and the presence of communities, two properties of many real world networks, strongly affects exploration strategies based on resetting.

This talk will present recent results and open questions pertaining to extreme-value problems in random walks, Brownian motion and more general Lévy processes. First, the focus will be on the number of faces on the boundary of the convex hull of d-dimensional random walks and Lévy-Brownian motion. Then, two problems related to first-passage times and lead changes for the suprema of one-dimensional Brownian and Lévy processes will be examined.

Basados en un esquema de filtrado estocástico, derivamos algunas relaciones de entrelazado dentro del contexto de procesos de ramificación Markovianos. En particular, nos enfocamos a procesos de Galton-Watson (GW) y a procesos de ramificación con espacios de estados continuo (CB). Un primer resultado es utilizado para proponer métodos de simulación exacta para esta clase de procesos. Específicamente, probamos que las probabilidades de transiciones de esta clase de procesos se pueden expresar mediante operadores de adelgazamiento. Esto nos llevo a identificar dichas probabilidades en algunos modelos particulares de interés. Por otro lado, la ventaja de usar un esquema de filtrado, mediante una relación de entrelazado, es estudiar un proceso que no se observa a travez de otro que sí es observable. Un ejemplo de su utilidad se tiene cuando se busca estudiar la cantidad de individuos prolíficos basados en el comportamiento total de la población. En particular, este último resultado genera una relación de entrelazado entre procesos CB y procesos de Galton-Watson a tiempo continuo.

Es sabido que muchos organismos se congregan, organizan, migran y forman patrones espaciales en grandes poblaciones. Este tipo de comportamiento a escala global puede resultar de interacciones locales entre organismos. Por ejemplo, una interacción local observada comúnmente en varios organismos es la alineación de velocidad, en la cual los individuos imitan la dirección y/o sentido de las velocidades de sus vecinos cercanos. Al comportamiento resultante de interacciones locales y movimiento individual a nivel población se le conoce como migración colectiva. En ausencia de interacciones entre individuos, el comportamiento migratorio se conoce como migración individual. Una forma de estudiar estos fenómenos a nivel cualitativo y cuantitativo es a través de modelos matemáticos y computacionales. Los modelos de autómatas celulares de gas en red (LGCA, por sus siglas en inglés) han sido usados ampliamente para modelar migración colectiva, tanto por incluir de forma explícita y separada procesos de interacción y transporte, como por la eficiencia de su implementación computacional. En esta plática, presentaré metodologías generales para construir y analizar modelos LGCA de migración colectiva e individual, usando interacciones de alineación de velocidad para ejemplificar las metodologías.

El árbol generador uniforme ha sido central en la probabilidad discreta en los últimos años. Una de las razones de tal interés es su estrecha relación con la caminata aleatoria sin ciclos. Ambos objetos tienen una definición combinatoria sencilla, pero guardan profundas relaciones con diversos modelos en mecánica estadística. En esta charla presentaremos resultados recientes sobre la geometría del árbol generador uniforme en Z^3. A escala macroscópica hablaremos del número de clusters y en el límite de escalamiento calcularemos su dimensión de Hausdorff. Este es un trabajo en conjunto con Omer Angel, David Croydon y Daisuke Shiraishi.

La plática tomará como punto de inicio el teorema de Erdös-Kac, un resultado de gran importancia en teoría de números probabilista, el cual establece que las fluctuaciones del número de factores primos de una muestra aleatoria uniforme en 1,..., n, son asintóticamente gaussianas. Naturalmente, después de la publicación de dicho resultado, diversas versiones cuantitativas han sido estudiadas. LeVeque conjeturó que la tasa de convergencia óptima era del orden loglog(n)^(-1/2). Esto fue posteriormente demostrado por Turan y Rényi mediante un ingenioso manejo de la función característica subyacente. Desafortunadamente, a la fecha, todas las perspectivas para resolver la conjetura de LeVeque se basan en el uso de herramientas de análisis complejo no triviales, mientras que las herramientas puramente probabilistas solo han sido aplicadas satisfactoriamente para obtener aproximaciones subóptimas de la antes mencionada tasa de convergencia. En esta plática daremos una prueba enteramente probabilista para la conjetura de LeVeque, que permite abordar el problema de una manera general, mediante argumentos basados en método de Stein.

El estudio de familias de procesos estocásticos uno-dimensionales que no se intersectan ha sido parte importante de la teoría de matrices aleatorias, al menos desde el trabajo original de F. Dyson en los años 60’s. Por ejemplo, si consideramos n partículas independientes en movimiento Browniano real, que inician en el origen y condicionadas a no intersectarse hasta un tiempo fijo T, se sabe que la posición de las n partículas (a tiempo T) tiene la misma distribución que los autovalores de una matriz aleatoria simétrica nxn con entradas gaussianas reales. Si consideramos familias de procesos en dos dimensiones, no es claro cómo generalizar este tipo de relaciones, principalmente porque las trayectorias pueden tener auto-intersecciones (o ciclos). En esta plática mostraremos que en dos dimensiones también es posible encontrar relaciones con ensambles de matrices aleatorias, principalmente de tipo Cauchy y circular. Lo anterior está estrechamente relacionado con múltiples caminatas aleatorias sin ciclos y entonces con probabilidades de ciertos eventos en el árbol generador uniforme. Este es un trabajo conjunto con Neil O’Connell.

Los árboles de genes, que aparecen en genética de poblaciones, se encuentran contenidos en el árbol de las especies. Con el objetivo de modelar la genealogía de ambos, en esta plática vamos a definir los procesos coalescentes anidados, además caracterizaremos sus probabilidades de transición y analizaremos la velocidad a la cual el coalescente anidado de Kingman encuentra el ancestro común más reciente. Finalmente presentaremos un modelo que incorpora estructura de población en linajes de diferentes especies.