The contact process is a simple model for the spread of an infection in a structured population. We consider a variant of the contact process, where vertices are equipped with a random fitness representing inhomogeneities among individuals. In this inhomogeneous contact process, the infection is passed along an edge with rate proportional to the product of the fitness values of the vertices on either end. We assume that the underlying population structure is given by a Galton-Watson tree. Recent works by Huang/Durrett and Bhamidi et al have given necessary and sufficient conditions on the offspring distribution for the classic contact process to exhibit a phase transition. In this spirit, we give sufficient conditions on the fitness and offspring distribution for the contact process with fitness on Galton-Watson trees that either guarantee that there is a phase transition or that the process is always supercritical. In particular, we can see that we need to consider the combined effect of fitness and offspring distribution to decide which scenario occurs. This is joint work with Marcel Ortgiese (University of Bath).

En esta plática compartiré resultados preliminares obtenidos junto con Arno Siri-Jégousse. Presentaré la construcción de ciertos procesos de Feller autosimilares con valores en las medidas. Dichos procesos cumplen la propiedad de que su transformación de Lamperti (una generalización de aquella descrita en Alili et al. 2017 para procesos en R^d) resulta en un proceso de Markov aditivo (MAP). Escogiendo los parámetros adecuados, obtenemos que la primera coordenada del MAP resultante, que corresponde al "argumento" o "ángulo" (cambiado de tiempo) del proceso autosimilar, es el proceso de Fleming-Viot dual a cualquier coalescente simple previamente escogido. Al mismo tiempo, la segunda coordenada del MAP, que corresponde al logaritmo de la "magnitud", es un proceso de Lévy. Este trabajo es una generalización de los resultados descritos en Birkner et al. 2005 en donde se establece una relación análoga entre procesos de ramificación alfa-estables y los procesos de Fleming-Viot duales a los Beta(2-alfa,alfa)-coalescentes.

Λ-Wright--Fisher processes provide an important modeling framework within mathematical population genetics. We present a variety of parameter-dependent long-term behaviors for a broad class of such processes and explain how to discriminate the different boundary behaviors by explicit criteria. In particular, we describe situations in which both boundary points are asymptotically inaccessible – an apparently new phenomenon in this context. This has interesting biological implications, because it leads to a class of stochastic population models in which selection alone can maintain genetic variation. If at least one boundary point is asymptotically accessible, we derive decay rates for the probability that the boundary is not essentially accessed. To prove this result, we establish and employ Siegmund duality. The dual process can be sandwiched at the boundary in between two transformed Lévy processes. This allows us to relate the boundary behavior of the dual to fluctuation properties of the Lévy processes and it sheds new light on previously established accessibility conditions. This is joint work with Fernando Cordero and Grégoire Véchambre.

Los entrelazamientos aleatorios (random interlacements) se construyen a partir de cierta sopa Poissoniana de caminatas aleatorias en Z^d. Un parámetro u > 0 controla la intensidad del proceso puntual de Poisson. De manera natural, los entrelazamientos aleatorios definen una percolación I(u), con correlaciones de largo alcance, en Z^d.

En esta charla, estudiaremos propiedades asintóticas de la distancia química en la percolación I(u). Al tomar cierto límite de la distancia química, se obtiene su constante de tiempo. La constante de tiempo tiene una interpretación geométrica pues, para cada parámetro u, define una norma en R^d. En dimensión d ≥ 5, probaremos cotas superiores e inferiores para esta constante de tiempo, conforme la intensidad decae a cero. (Trabajo en conjunto con Eviatar Procaccia y Ron Rosenthal).

1:15pm Carmen Higuera (UNISON)
Aproximación de campo medio en problemas de control estocástico
Resumen. En esta plática presentamos un modelo para sistemas de control estocástico compuesto por un gran número N de objetos que interactúan y evolucionan aleatoriamente (de acuerdo con una ley de transición) entre un conjunto de categorías. Luego definimos el problema de control correspondiente. Debido a la gran cantidad de objetos en el sistema y consecuentemente el inconveniente de la dimensión, apelamos al enfoque de campo medio, que nos propone analizar la proporción de objetos que ocupan cada categoría en lugar de enfocarnos en un solo objeto. Esto nos lleva a definir el llamado modelo de control de campo medio y su respectivo problema, que en condiciones apropiadas resulta un modelo más tratable que el original y la política óptima de campo medio resulta tener un buen comportamiento en el problema original. Para fijar ideas de los elementos mencionados en los modelos, presentamos una interesante aplicación en la gestión forestal.

1:50pm Arturo Jaramillo (CIMAT)
Teoremas límite para variables log-cóncavas
Resumen. Se estudia la discrepancia entre dos medidas de probabilidad sujetas a condiciones adecuadas de concavidad. Se presenta un resultado general que establece una cota superior para dicha discrepancia de acuerdo a la distancia en variación total. Este resultado habilitará la importación de extensivos estudios previos de log concavidad (emergentes de una amplia variedad de areas de las matemáticas), llevados al contexto de teoremas límite. Esto se traducirá posteriormente en aproximaicones binomiales y leyes de eventos raros para sumas de variables Bernoulli, matroides aleatorios y volúmenes intrínsecos.

1:15pm Elena Kaikina / Alexis Vázquez (CCM, UNAM)
Ecuación de Schrodinger estocástica no lineal en semirrecta con ruido en contorno
Resumen. Se consideran las ecuaciones estocásticas no lineales de Schrodinger en la semirrecta con condiciones de frontera con ruido. Se establece la existencia global y la unicidad de las soluciones al problema inicial con datos en el espacio de Sobolev. También se estudia propiedades de regularidad de la primera derivada espacial de las soluciones cerca al origen. Para obtener una estimación optima de la influencia de frontera estocástica, se propone un nuevo método basado en la transformada de Laplace y la teoría de análisis complejo de Cauchy. También se adoptan las estimaciones de Stricharts y las desigualdades de interpolación de Gagliardo--Nirenberg para el caso de ecuaciones estocasticas en semirrecta.

1:50pm Mario Diaz (IIMAS, UNAM)
Mecanismos Privatizantes como mapas contractivos
Resumen. Debido a los recientes usos y abusos de la información personal, la privacidad se ha convertido en un área fundamental de la estadística contemporánea. Si bien el carácter multifactorial de la privacidad dificulta su tratamiento integral, la noción de privacidad diferencial local provee de un contexto matemático robusto para el diseño y análisis de mecanismos privatizantes. En su estudio de las propiedades estadísticas de dichos mecanismos, Duchi, Jordan y Wainwright postularon que estos actúan esencialmente como contracciones sobre las distribuciones de probabilidad. En esta charla mostraremos que los mecanismos privatizantes en efecto son mapas contractivos bajo una divergencia conocida como 'Hockey-Stick Divergence'. Esta plática está basada en trabajo conjunto con Shahab Asoodeh (McMaster University) y Flavio Calmon (Harvard University).

Utilizando la relación que existe entre el generador infinitesimal de un proceso estable, posiblemente asimétrico, y derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville, se establece el operador inverso del generador infinitesimal en un espacio adecuado. Esto permite definir una familia de funciones que satisface el teorema de Meyer-Itô para procesos estables recurrentes, donde aparece el tiempo local de ocupación. Este teorema generaliza la fórmula de Tanaka y como corolario se puede establecer una descomposición para funciones potencia como submartingala o semimartingala dependiendo del exponente.

El comportamiento de las raíces de polinomios aleatorios ha sido estudiado desde mediados del siglo pasado. Este tema es relevante para la teoría de Probabilidad y otras áreas de la ciencia, pues se encuentra en la intersección de varias ramas de la Matemática y la Física. De particular interés son los polinomios aleatorios trigonométricos debido a sus aplicaciones en Física Nuclear. Desde que, en 1966, Duannage probara que el número medio de ceros reales de esta clase de polinomios con coeficientes gaussianos es asintóticamente proporcional al grado del polinomio, muchos resultados han sido desarrollados. En esta plática les mostraré cómo cuantificamos la tasa de convergencia entre la distribución del número de raíces de polinomios aleatorios trigonométricos y el número de raíces de un Proceso Gaussiano, cuya función de covarianza está dada por la función seno cardinal. Este es un trabajo conjunto con Laure Coutin.

Un sistema complejo está formado por un conjunto de muchas partículas o agentes que tiene reglas de interacción locales. Estos sistemas se caracterizan por presentar autorganización, lo que quiere decir que la longitud de correlación entre las partículas diverge. Dicho fenómeno se puede modelar frecuentemente utilizando teoría de percolación, es decir, estudiando el comportamiento de una red al agregar nodos o enlaces. En esta plática presentaré 3 ejemplos de sistemas complejos que se puede analizar con teoría de percolación. El primero es el de la fase intermedia en vídrios calcogenoides; un estado donde termodinámicamente el sistema se vuelve casi-reversible a pesar de estar fuera de equilibrio y microscópicamente se pasa de un sistema flexible a uno rígido, sin que hasta ahora haya una explicación para conectar las propiedades microscópicas y macroscópicas de esta fase. El segundo ejemplo es el de la crisis de ebullición; una diferencia entre las temperaturas de un líquido y un sólido con el que está en contacto, a partir de la cual la conductividad térmica del líquido decrece evitando que este pueda ser usado para enfriar el sólido. El último es un sistema formado por virus, anticuerpos y células, donde se ha observado que a partir de una concentración de anticuerpos crítica, la neutralización de los virus crece abruptamente, lográndose 100% de neutralización.