Podemos pensar que la tangente a junto con el punto N definen un plano que toca a uno de los dos caminos en la tierra. Podemos pensar que la proyección estereográfica proyecta también puntos fuera de la tierra al plano pegado en el punto opuesto a N. Entonces será proyectado a una recta, pero a una recta que toca la proyección del camino. Como esta recta toca al camino en el mapa tiene que ser la recta a'.

Por lo tanto la proyección de a es a' y de manera similar la proyección de b es b'. Por ello las dos rectas a y a' se cruzan en un punto U que está sobre la línea l de intersección del plano del mapa y del plano tangente al cruce en la tierra. De manera similar b y b' se cruzan en un punto V de l.