En esta plática abordaremos la distribución infinitesimal de una familia de matrices de Wishart reales e independientes. Las matrices de Wishart son matrices aleatorias de la forma $GG^T$ donde se pide que las entradas de $G$ sean variables aleatorias normales, independientes e idénticamente distribuidas. En general, para matrices aleatorias arbitrarias, la distribución infinitesimal puede llegar a permitir la detección de valores propios que caen fuera del soporte de la distribución límite. Veremos también que las matrices de Wishart reales no son independientes libres en el sentido infinitesimal, un resultado que contrasta con las matrices de Wishart complejas. Cabe mencionar que la independencia libre infinitesimal es una extensión de la independencia libre, esto contexto de probabilidad algebraica, también llamada cuántica. Esta plática se basa en un trabajo de investigación realizado en colaboración con James A. Mingo de la universidad de Queen's en Canadá.

En el caso continuo la medida log-cóncava juega un papel central en el "Análisis geométrico asintótico", un tema ubicado en la superposición de la geometría y el análisis funcional, y ha proporcionado un marco útil para comprender la geometría convexa moderna y las estadísticas y probabilidades de alta dimensión. En esta charla, motivamos un análogo discreto de una medida logarítmica cóncava y demostraremos cómo este contexto abstracto puede producir resultados útiles, como cotas de la entropía, concentración, varios teoremas de límites, etc., para distribuciones discretas importantes que serían difíciles para entender con cálculos directos. Ejemplos importantes de log-concavidad discreta incluyen el volumen intrínseco de geometría convexa, sumas independientes de Bernoulli (y, en general, cualquier suma de variables aleatorias "log-cóncavas") y la cardinalidad de conjuntos independientes en un matroide.

En esta plática mostraré algunas de las estrategias metodológicas que estoy desarrollando para estimar la población de México por medio del método de las componentes. Dicha estrategia metodológica trata sobre como impactar cada una de las variables demográficas básicas (mortalidad, fecundidad y migraciones) a partir de la información de las estadísticas vitales de 2020 y 2021. A partir de lo anterior se calculan proyecciones de cada una de dichas variablaes y de la población total con sus respectivos intervalos de predicción para el año 2070.

Estudiamos el problema de pago óptimo de dividendos y rescates bajo el supuesto donde la decisión de pago de dividendos se puede tomar únicamente en tiempos discretos y el proceso de riqueza de la compañía está modelado por un proceso Markov aditivo (MAP) espectralmente negativo, con el fin de modelar el efecto de un ambiente económico aleatorio. Nuestro objetivo es probar la optimalidad de estrategias de tipo barrera. Apoyados del principio de programación dinámica, se usará un método de recursión para estudiar primero un problema auxiliar conducido por un proceso de Lévy espectralmente negativo. Posteriormente se usarán métodos iterativos para probar la optimalidad de estrategias de barrera para el problema conducido por el MAP. Trabajo en conjunto con Kei Noba (ISM), José Luis Pérez Garmendia (CIMAT) y Harold Moreno-Franco (HSE Moscow).

Random intersection graph is a simple random graph model that incorporates community structures. To build such a graph, imagine there are n individuals and m potential communities. Each individual joins a community independently with probability p. The graph G(n, m, p) has n nodes, corresponding to the n individuals. Each pair of these individuals share an edge between them if they belong to a common community. The critical threshold for the emergence of a giant component turns out to be at p^2 ~ 1/nm. I’ll discuss some results that can help us to understand what a large G(n, m, p) looks like at the critical threshold.

En esta plática voy a contar algunos resultados recientes sobre el comportamiento de autómatas celulares probabilistas en el régimen de ruido alto. Se sabe, desde los 90s, que en este régimen el autómata es exponencialmente, uniformemente ergódico. Revisitamos este resultado clásico mostrando que de hecho hay una convergencia exponencialmente rápida en distancia d-barra hacia el estado estacionario. Lo verdaderamente novedoso del trabajo es la prueba de que, en este régimen, tanto las distribuciones temporales como la distribución espacio-temporal del autómata, satisfacen desigualdades de concentración gaussiana. Las pruebas de estos resultados siguen la estrategia clásica del método de acoplamiento. Voy a terminar la plática presentando algunos ejemplos uni-dimensionales que estudiamos tanto rigurosamente como numéricamente.

Brownian motion speaks analysis and geometry in a beautiful connection with bounded variation (BV) measures and the perimeter of sets. In this talk we will review that relation in the Euclidean setting through the work of Cacciopoli, de Giorgi and Ledoux, and from there move to more general metric measure spaces. Moving beyond the Euclidean setting we will discuss recent developments in the context of fractals, and in particular an oscillatory phenomenon that occurs when the underlying space is an unbounded planar nested fractal. Based on joint work with Fabrice Baudoin.

En esta charla, mostraremos un método para la construcción de puentes de Difusión basados en la expansion del Caos de Wiener (WCE). Consideramos la solución de ecuaciones diferenciales estocásticas y aplicamos el WCE a una representación particular del puente de difusión. Mediante el uso de algunas herramientas del cálculo de Malliavin, calculamos los coeficientes del WCE y por tanto fijar la aproximación; esto nos permite construir el puente de difusión. Validamos el método con el ejemplo sencillo del proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

En esta charla, expondré una técnica para inferir el modelo de coalescencia con colisión múltiple a partir de datos genéticos tomados en un solo momento. Los coalescentes son modelos aleatorios que ahora son aceptados por la comunidad para representar el árbol genealógico de una población. Su medida característica proporciona información sobre la evolución de la población, como reproducción sesgada, selección, cuellos de botella... Esta técnica consta de dos pasos: 1) estimar las tasas de coalescencia a partir de los datos genéticos y, en particular, el llamado espectro de frecuencia de sitio ponderado, y 2) estimar la medida característica Lambda del coalescente gracias a un método de estimación no paramétrico basado en polinomios de Bernstein. Esta estimación es útil para inferir el mejor modelo para representar el árbol genealógico de una población, pero también funciona bien para rechazar los modelos genealogicos comúnmente utilizados (como los Beta-coalescentes, el coalescente de Kingman...). También se puede establecer el error de consistencia que genera este método.