Entropía y métricas de Einstein

En esta charla veremos que el crecimiento exponencial del volumen nos permite identificar variedades y saber si admiten métricas de Einstein. En geometría diferencial y física matemática, una variedad Einstein es una variedad diferenciable riemanniana cuyo tensor de Ricci es proporcional a la métrica.

Resulta que gran parte de las teorías de Geometría Diferencial y Análisis Geométrico se pueden generalizar a los espacios que aparecen al pensar en límites de sucesiones de variedades lisas con curvaturas acotadas. Si la curvatura acotada en la sucesión es la seccional, llegamos a lo que se conoce como espacios de Alexandrov. Si pedimos que la curvatura de Ricci esté acotada, llegamos a una clase de espacios que han sido ya ampliamente estudiados, llamados Ricci límites. Éstos están a su vez incluidos en unos espacios que se definen usando el espacio de todas las medidas conocido como el espacio de Wasserstein, que tienen un tipo de curvatura de Ricci acotada por debajo por una constante real \(K\) y son de dimensión a lo más \(N\), llamados espacios \(\mathrm{RCD}(K,N)\). Aquí empezamos a ver cómo se relacionan estos conceptos y objetos geométricos con temas de Transporte Óptimo.

La entropía de volumen de una métrica es la entropía del volumen de una bola en cubriente universal de una variedad Riemanniana. Este concepto también se puede definir para los espacios métricos medibles RCD(K,N). Junto con varios colaboradores demostramos que es posible caracterizar a los espacios \(\mathrm{RCD}(K,N)\) que son isomorfos a variedades hiperbólicas usando la entropía del volumen (ver Maximal volume entropy rigidity for \(\mathrm{RCD}^*(−(N −1),N)\) spaces,  con C. Connell, X. Dai, J. Núñez-Zimbrón, R. Perales, G. Wei,  Journal of the London Mathematical Society,  104 (2021), 1615–1681). 

Por otro lado, podemos usar el crecimiento exponencial del grupo fundamental para dar restricciones a la existencia de métricas de Einstein en variedades lisas de dimensión 4. Esto es parte de un trabajo reciente en colaboración con Haydée Contreras Peruyero (ver Collapsing and group growth as obstructions to Einstein metrics on some smooth 4-manifolds,  con Haydeé Contreras Peruyero,  New York Journal of Mathematics 28 (2022) 659–671.)