Entropía y rigidez en espacios métricos medibles

En una colaboración con Connell, Dai, Núñez-Zimbrón, Perales y Wei, demostramos que la entropía del volumen caracteriza a ciertos espacios métricos medibles  con cotas sintéticas de curvatura acotada por abajo (por una constante K) salvo isometría con el espacio hiperbólico real (de dimensión \(N\)).  Hemos continuado esta colaboración, extendiendo la teoría del baricentro desarrollada por Besson-Courtois-Gallot, para que se pueda aplicar a esta clase de espacios singulares conocidos como \(\mathrm{RCD}(K,N)\). Esta familia de espacios \(\mathrm{RCD}(K,N)\) incluye a los espacios de Alexandrov, orbifolds y límites de sucesiones de variedades Riemannianas con curvatura de Ricci acotada inferiormente.  Explicaré las motivaciones para estudiar estos espacios que vienen del estudio del transporte óptimo y mencionaré algunas preguntas abiertas.