Espacios clasificantes de categorías de cobordismos

Una estructura muy importante en matemáticas es la categoría de cobordismos en dimensión \(1+1\). Ella tiene un papel importante en teorías topológicas cuánticas de campo y de manera indirecta se tienen cuatro medallas fields con Witten, Kontsevich, Jones y Donaldson. El espacio clasificante asociado a una categoría (pequeña) clasifica gavillas (haces) cuyos valores son funtores contravariantes de esa categoría a conjuntos. Por ejemplo el espacio clasificante de un grupo discreto clasifica clases de isomorfismo de haces principales. En esta plática veremos la definición, propiedades y algunos resultados de espacios clasificantes que nos permiten saber su tipo de homotopía. El primer cálculo del espacio clasificante para la categoría de cobordismos en dimensión dos  fue hecho por Tillmann y en colaboración con Galatius, Madsen y Weiss culminaron con el cálculo del tipo de homotopía de la categoría de cobordismos (encajada) en cualquier dimensión. Nosotros estaremos interesados en el caso en que tenemos un grupo discreto \(G\)  actuando, dando la categoría de \(G\)-cobordismos. En dimensión dos, veremos que información del grupo se codifica en esta categoría y daremos su espacio clasificante generalizando el primer trabajo de Tillmann. Si hay tiempo se verán relaciones con la teoría de lenguajes, gráficas de Hanoi, cubrimientos de gráficas, teoría de códigos, así como preguntas de extensión de acciones libres sobre superficies en teoría de bordismos.