El problema 16 de Hilbert, el problema del centro y sus versiones infinitesimales

Resumen:

Los dos problemas están en el contexto de campos de vectores polinomiales en el plano real.
En el plano real no hay caos, por lo tanto la parte más interesante de la dinámica son las órbitas periódicas.

Los dos problemas: 16 de Hilbert y el problema del centro (estudiado por Poincaré) se avocan al estudio de órbitas periódicas.

En el primer problema, uno está interesado en el estudio de órbitas periódicas aisladas (que se llaman ciclos límite). En el segundo problema uno estudia familias continuas de órbitas periódicas que se acumulan a un punto singular que llamaremos centro.

El problema 16 de Hilbert pide una cota, en función del grado, del número de orbitas periódicas.
El problema del centro pide caracterizar campos vectoriales que tienen centros.
Los dos problemas están completamente abiertos.

Cada uno tiene su versión infinitesimal.
En ambos casos se estudian perturbaciones de los sistemas que tienen un centro.
En la versión infinitesimal del problema 16 de Hilbert uno quiere contar el numero de ciclos límite que nacen por perturbación.
En la versión infinitesimal del problema del centro uno quiere caracterizar las deformaciones que preservan el centro.

Presentaremos un panorama de la situación actual de los problemas y de los avances en problemas conexos.