Idiomas y prerradicales en categorías abelianas

Diremos que una retícula L completa, modular y superiormente continua, es un idioma. Retículas con estas características fueron estudiadas por H. Simmons en su investigación sobre teoría de (pre) núcleos y generalizaciones de la teoría de anillos. Dada una categoría abeliana de Grothendieck se puede demostrar que la colección de subobjetos de de un objeto dado resulta ser un idioma. Desde esta perspectiva, podemos notar que en el caso de las categorías de módulos sobre un anillo unitario; y de manera más generalizada, para una categoría abeliana de Grothendieck, la teoría de retículas y la teoría de categorías están profundamente conectadas.

Resultado de la investigación iniciada en México por F. Raggi, J. Ríos, R. Fernández-Alonso, H. Rincón y C. Singnoret, el estudio de prerradicales ha permitido obtener resultados interesantes en teoría de anillos y módulos a través de R − pr, el gran “idioma” de prerradicales sobre una categoría de modulos. En años recientes, al estudio de la categoría de módulos sobre un anillo dado, se han sumando las técnicas provenientes del enfoque de la topología sin puntos (point-free topology).

En esta charla, daremos un panorama general de algunos hechos básicos de la teoría de idiomas, cuantales y (pre)núcleos. Mencionaremos algunos resultados obtenidos con Ángel Zaldívar (CUCEI UdG) y Mauricio Medina (CIDESI) en el estudio de aplicaciones de topología sin puntos a idiomas de módulos; así como también, de algunos avances realizados en conjunto con R. Fernández-Alonso (UAM Iztapalapa), J. Magaña Zapata (UAM-Azcapotzalco) y V. Santiago-Vargas (F. Ciencias UNAM), en generalizaciones del estudio de prerradicales en categorías abelianas.